प्रक्षेपण-मूल्यांकन माप

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक प्रोजेक्शन-वैल्यूड माप (पीवीएम) एक निश्चित सेट के कुछ उपसमुच्चय पर परिभाषित एक फलन है और जिसका मान एक निश्चित हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर स्व-आसन्न प्रक्षेपण (गणित) है। प्रक्षेपण-मान उपाय औपचारिक रूप से वास्तविक-मान माप (गणित) के समान हैं, सिवाय इसके कि उनके मान वास्तविक संख्या के बजाय स्व-संलग्न अनुमान हैं। सामान्य उपायों के मामले में, पीवीएम के संबंध में जटिल-मान कार्यों को एकीकृत करना संभव है; इस तरह के एकीकरण का नतीजा दिए गए हिल्बर्ट स्पेस पर एक रैखिक ऑपरेटर है।

प्रोजेक्शन-वैल्यू उपायों का उपयोग स्पेक्ट्रल सिद्धांत में परिणाम व्यक्त करने के लिए किया जाता है, जैसे स्व-संलग्न ऑपरेटरों के लिए महत्वपूर्ण वर्णक्रमीय सिद्धांत पीवीएम के संबंध में इंटीग्रल का उपयोग करके स्व-संलग्न ऑपरेटरों के लिए बोरेल कार्यात्मक कलन का निर्माण किया गया है। क्वांटम यांत्रिकी में, पीवीएम क्वांटम मापन का गणितीय वर्णन है। वे POVM (POVMs) द्वारा उसी अर्थ में सामान्यीकृत किए जाते हैं कि एक मिश्रित अवस्था (भौतिकी) या घनत्व मैट्रिक्स एक शुद्ध अवस्था की धारणा को सामान्य करता है।

औपचारिक परिभाषा

एक प्रक्षेपण-मान उपाय $\pi$ मापने योग्य स्थान पर

$(X,M)$, कहाँ $M$ के उपसमुच्चय का σ-बीजगणित है $X$, एक फलन (गणित) है $M$ हिल्बर्ट स्पेस पर सेल्फ-एडजॉइंट प्रोजेक्शन ऑपरेटर के सेट के लिए $H$ (यानी ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन) ऐसा है

$\pi (X)=\operatorname {id} _{H}\quad$

(कहाँ $\operatorname {id} _{H}$ का पहचान ऑपरेटर है $H$) और प्रत्येक के लिए $\xi ,\eta \in H$, निम्न कार्य $M\to \mathbb {C}$

$E\mapsto \langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle$

पर एक जटिल उपाय है$M$(यानी, एक जटिल-मान सिग्मा योगात्मकता फलन)।

हम इस उपाय को निरूपित करते हैं

$\operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\eta )$.

ध्यान दें कि $\operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\xi )$ एक वास्तविक-मान माप है, और एक संभाव्यता माप कब है $\xi$ लंबाई एक है।

अगर $\pi$ एक प्रक्षेपण-मान उपाय है और

$E\cap F=\emptyset ,$

फिर छवियां $\pi (E)$, $\pi (F)$ एक दूसरे के लिए ओर्थोगोनल हैं। इससे यह पता चलता है कि सामान्य तौर पर,

$\pi (E)\pi (F)=\pi (E\cap F)=\pi (F)\pi (E),$

और वे आवागमन करते हैं।

उदाहरण। कल्पना करना $(X,M,\mu )$ एक माप स्थान है। चलो, हर मापने योग्य उपसमुच्चय के लिए $E$ में $M$,

$\pi (E):L^{2}(\mu )\to L^{2}(\mu ):\psi \mapsto \chi _{E}\psi$

सूचक समारोह द्वारा गुणन के संचालिका बनें $1_{E}$ एलपी स्पेस पर | एल²(एक्स). तब $\pi$ एक प्रक्षेपण-मान उपाय है। उदाहरण के लिए, यदि $X=\mathbb {R}$, $E=(0,1)$, और $\phi ,\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ इसके बाद संबंधित जटिल उपाय है $S_{(0,1)}(\phi ,\psi )$ जो एक मापने योग्य कार्य करता है $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ और इंटीग्रल <ब्लॉककोट> देता है$S_{(0,1)}(\phi ,\psi )(f)=\int _{(0,1)}f(x)\psi (x){\overline {\phi }}(x)dx$</ब्लॉककोट>

प्रक्षेपण-मान उपायों, अभिन्न और वर्णक्रमीय प्रमेय का विस्तार

अगर π मापने योग्य स्थान (एक्स, एम) पर प्रक्षेपण-मान माप है, फिर मानचित्र

$\chi _{E}\mapsto \pi (E)$

एक्स पर कदम कार्यों के वेक्टर अंतरिक्ष पर एक रैखिक मानचित्र तक फैला हुआ है। वास्तव में, यह जांचना आसान है कि यह नक्शा एक अंगूठी समरूपता है। यह नक्शा एक्स पर सभी बंधे हुए जटिल-मान औसत दर्जे के कार्यों के लिए एक विहित तरीके से फैला हुआ है, और हमारे पास निम्नलिखित हैं।

'प्रमेय'। एक्स पर किसी भी बंधे एम-मापने योग्य फलन एफ के लिए, एक अद्वितीय बाध्य रैखिक ऑपरेटर मौजूद है

$\mathrm {T} _{\pi }(f):H\to H$

ऐसा है कि

$\langle \operatorname {T} _{\pi }(f)\xi \mid \eta \rangle =\int _{X}f\ d\operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\eta )$

सभी के लिए $\xi ,\eta \in H,$ कहाँ $\operatorname {S} _{\pi }(\xi ,\eta )$ जटिल माप को दर्शाता है

$E\mapsto \langle \pi (E)\xi \mid \eta \rangle$

की परिभाषा से $\pi$.

वो नक्शा

${\mathcal {BM}}(X,M)\to {\mathcal {L}}(H):f\mapsto \operatorname {T} _{\pi }(f)$

एक रिंग समरूपता है।

एक अभिन्न संकेतन अक्सर के लिए प्रयोग किया जाता है $\operatorname {T} _{\pi }(f)$, के रूप में

$\operatorname {T} _{\pi }(f)=\int _{X}f(x)\,d\pi (x)=\int _{X}f\,d\pi .$

प्रमेय असीमित औसत दर्जे के कार्यों f के लिए भी सही है, लेकिन तब $\operatorname {T} _{\pi }(f)$ हिल्बर्ट स्पेस एच पर एक असीमित रैखिक ऑपरेटर होगा।

वर्णक्रमीय प्रमेय कहता है कि प्रत्येक स्व-आसन्न संकारक $A:H\to H$ एक संबद्ध प्रक्षेपण-मान माप है $\pi _{A}$ वास्तविक धुरी पर परिभाषित किया गया है, जैसे कि

$A=\int _{\mathbb {R} }x\,d\pi _{A}(x).$

यह ऐसे ऑपरेटरों के लिए बोरेल कार्यात्मक कलन को परिभाषित करने की अनुमति देता है: यदि $g:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ एक मापने योग्य कार्य है, हम सेट करते हैं

$g(A):=\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\pi _{A}(x).$

प्रक्षेपण-मान उपायों की संरचना

पहले हम प्रत्यक्ष समाकलों पर आधारित प्रक्षेपण-मान माप का एक सामान्य उदाहरण प्रदान करते हैं। मान लीजिए (एक्स, एम, μ) एक माप स्थान है और {एच_x}_{x ∈ X} वियोज्य हिल्बर्ट रिक्त स्थान का एक μ-मापने योग्य परिवार बनें। प्रत्येक E ∈ M के लिए, मान लीजिए π(ई) 1 से गुणन का संचालक हो_E हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर

$\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).$

तब π (X, M) पर प्रक्षेपण-मान माप है।

कल्पना करना π, ρ H, K के अनुमानों में मानों के साथ (X, M) पर प्रक्षेपण-मान उपाय हैं। π, ρ एकात्मक रूप से समतुल्य हैं यदि और केवल यदि एक एकात्मक संकारक U:H → K ऐसा है कि

$\pi (E)=U^{*}\rho (E)U\quad$

हर ई ∈ एम के लिए।

'प्रमेय'। यदि (एक्स, एम) एक बोरेल बीजगणित # मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय है, तो प्रत्येक प्रक्षेपण-मान माप के लिए π पर (X, M) एक वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष के अनुमानों में मान लेते हुए, एक बोरेल माप μ और हिल्बर्ट रिक्त स्थान का एक μ-मापने योग्य परिवार है {H_x}_{x ∈ X} , ऐसा है कि π एकात्मक रूप से 1 से गुणा करने के समतुल्य है_E हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर

$\int _{X}^{\oplus }H_{x}\ d\mu (x).$

माप वर्ग{{clarify|reason=What is a measure class? A measure up to measure-preserving equivalence? Should the measure be completed?|date=May 2015}μ का } और गुणन फलन x → मंद H का माप तुल्यता वर्ग_x एकात्मक तुल्यता तक प्रक्षेपण-मान माप को पूरी तरह से चिह्नित करें।

एक प्रक्षेपण-मान उपाय π बहुलता n का सजातीय है यदि और केवल यदि बहुलता फलन का मान n स्थिर है। स्पष्ट रूप से,

'प्रमेय'। कोई प्रक्षेपण-मान उपाय π एक वियोज्य हिल्बर्ट स्थान के अनुमानों में मान लेना सजातीय प्रक्षेपण-मान उपायों का एक ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग है:

$\pi =\bigoplus _{1\leq n\leq \omega }(\pi \mid H_{n})$

कहाँ

$H_{n}=\int _{X_{n}}^{\oplus }H_{x}\ d(\mu \mid X_{n})(x)$

और

$X_{n}=\{x\in X:\dim H_{x}=n\}.$

क्वांटम यांत्रिकी में अनुप्रयोग

क्वांटम यांत्रिकी में, एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष एच पर निरंतर एंडोमोर्फिज्म के स्थान के लिए मापने योग्य अंतरिक्ष एक्स के प्रक्षेपण मान माप को देखते हुए,

• हिल्बर्ट स्पेस एच के प्रोजेक्टिव स्पेस को क्वांटम सिस्टम के संभावित राज्यों Φ के सेट के रूप में व्याख्या किया गया है,
• मापने योग्य स्थान X सिस्टम की कुछ क्वांटम संपत्ति के लिए मान स्थान है (एक अवलोकन योग्य),
• प्रक्षेपण-मान उपाय π इस संभावना को व्यक्त करता है कि अवलोकनीय विभिन्न मानों पर ले जाता है।

एक्स के लिए एक आम पसंद वास्तविक रेखा है, लेकिन यह भी हो सकती है

• 'आर'³ (तीन आयामों में स्थिति या संवेग के लिए),
• एक असतत सेट (कोणीय गति के लिए, एक बाध्य अवस्था की ऊर्जा, आदि),
• Φ के बारे में एक मनमाना प्रस्ताव के सत्य-मान के लिए 2-बिंदु सेट सत्य और असत्य।

बता दें कि ई औसत दर्जे का अंतरिक्ष एक्स और Φ एच में एक सामान्यीकृत सदिश-राज्य का एक औसत दर्जे का उपसमुच्चय है, ताकि इसका हिल्बर्ट मानदंड एकात्मक हो, ||Φ|| = 1. संभावना है कि अवलोकन योग्य उपसमुच्चय ई में अपना मान लेता है, राज्य Φ में सिस्टम दिया जाता है, है

$P_{\pi }(\varphi )(E)=\langle \varphi \mid \pi (E)(\varphi )\rangle =\langle \varphi |\pi (E)|\varphi \rangle ,$

जहां भौतिकी में बाद वाले अंकन को प्राथमिकता दी जाती है।

इसका विश्लेषण हम दो प्रकार से कर सकते हैं।

सबसे पहले, प्रत्येक निश्चित ई के लिए, प्रक्षेपण π(ई) एच पर एक स्व-संबद्ध संचालिका है जिसका 1-ईजेन्सस्पेस Φ राज्य है जिसके लिए अवलोकनीय का मान हमेशा ई में निहित होता है, और जिसका 0-ईजेनस्पेस राज्य Φ है जिसके लिए अवलोकनीय का मान कभी झूठ नहीं होता ई में

दूसरा, प्रत्येक निश्चित सामान्यीकृत वेक्टर स्थिति के लिए $\psi$, संगठन

$P_{\pi }(\psi ):E\mapsto \langle \psi \mid \pi (E)\psi \rangle$

प्रेक्षण योग्य के मानों को एक यादृच्छिक चर में बनाने पर X पर एक प्रायिकता माप है।

एक माप जो प्रक्षेपण-मान माप द्वारा किया जा सकता है π को प्रक्षेपी माप कहा जाता है।

यदि X वास्तविक संख्या रेखा है, तो इससे जुड़ा हुआ मौजूद है π, एक हर्मिटियन ऑपरेटर A द्वारा H पर परिभाषित किया गया है

$A(\varphi )=\int _{\mathbf {R} }\lambda \,d\pi (\lambda )(\varphi ),$

जो अधिक पठनीय रूप लेता है

$A(\varphi )=\sum _{i}\lambda _{i}\pi ({\lambda _{i}})(\varphi )$

अगर का समर्थन π R का असतत उपसमुच्चय है।

उपरोक्त ऑपरेटर ए को वर्णक्रमीय माप से जुड़े अवलोकन योग्य कहा जाता है।

इस प्रकार प्राप्त किसी संकारक को क्वांटम यांत्रिकी में प्रेक्षणीय कहा जाता है।

सामान्यीकरण

प्रोजेक्शन-वैल्यूड माप का विचार सकारात्मक ऑपरेटर-वैल्यूड माप (पीओवीएम) द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, जहां प्रोजेक्शन ऑपरेटरों द्वारा निहित ओर्थोगोनलिटी की आवश्यकता को ऑपरेटरों के एक सेट के विचार से बदल दिया जाता है जो एकता का गैर-ऑर्थोगोनल विभाजन है।. यह सामान्यीकरण क्वांटम सूचना सिद्धांत के अनुप्रयोगों से प्रेरित है।

यह भी देखें

• स्पेक्ट्रल प्रमेय
• कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का वर्णक्रमीय सिद्धांत
• सामान्य सी * - बीजगणित का वर्णक्रमीय सिद्धांत

संदर्भ

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• M. Reed and B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols I–IV, Academic Press 1972.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
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