रैंक 3 क्रमचय समूह

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गणितीय परिमित समूह सिद्धांत में एक रैंक 3 क्रमपरिवर्तन समूह एक सेट पर सकर्मक रूप से कार्य करता है जैसे कि एक बिंदु के स्थिरक में 3 कक्षाएं होती हैं इन समूहों का अध्ययन हिगमैन द्वारा 1964, 1971में प्रारंभ किया गया था छिटपुट सरल समूहों में से कई को रैंक 3 क्रमचय समूहों के रूप में खोजा गया था।

वर्गीकरण

आदिम रैंक 3 क्रमचय समूह निम्नलिखित वर्गों में से एक है

  • Cameron (1981) ने उन्हें इस प्रकार वर्गीकृत किया जहां T0 का सामाजिक T सरल है और T0 डिग्री √n का 2-सकर्मक समूह है।
  • Liebeck (1987) ने एक नियमित प्राथमिक एबेलियन सामान्य उपसमूह के साथ वर्गीकृत किया
  • Bannai (1971–72) ने उन्हें वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण वैकल्पिक समूह है
  • Kantor & Liebler (1982) ने उन लोगों को वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण शास्त्रीय समूह है
  • Liebeck & Saxl (1986) ने उन लोगों को वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण असाधारण या छिटपुट समूह है।

उदाहरण

यदि G समुच्चय S पर कार्य करने वाला कोई 4-सकर्मक समूह है, तो S के तत्वों के युग्मों पर इसकी क्रिया रैंक 3 क्रमचय समूह है।[1] विशेष रूप से अधिकांश वैकल्पिक समूहों, सममित समूहों और मैथ्यू समूहों में 4-सकर्मक क्रियाएं होती हैं, और इसलिए उन्हें रैंक 3 क्रमचय समूहों में बनाया जा सकता है।

प्रक्षेपी सामान्य रेखीय समूह कम से कम 3 आयाम के प्रक्षेपी स्थान में लाइनों पर कार्य करता है, एक रैंक -3 क्रमचय समूह है।

कई 3-ट्रांसपोजिशन समूह रैंक -3 क्रमचय समूह हैं (3-परिवर्तन समूह कार्रवाई में)।

रैंक-3 क्रमचय समूह के बिंदु-स्टेबलाइज़र के लिए यह एक कक्षा-3 क्रमचय समूह होने के लिए कक्षाओं में से एक पर कार्य करना आम है। यह रैंक-3 क्रमचय समूहों की कई श्रृंखलाएं देता है, जैसे सुजुकी श्रृंखला और फिशर समूहों के साथ समाप्त होने वाली श्रृंखला।

कुछ असामान्य रैंक-3 क्रमचय समूह (कई से (Liebeck & Saxl 1986)) नीचे सूचीबद्ध हैं।

नीचे दी गई तालिका में प्रत्येक पंक्ति के लिए, कॉलम चिह्नित आकार में ग्रिड में, बराबर चिह्न के बाईं ओर की संख्या पंक्ति में उल्लिखित क्रमचय समूह के लिए क्रमचय समूह की डिग्री है। ग्रिड में, समान चिह्न के दाईं ओर का योग क्रमचय समूह के एक बिंदु के स्टेबलाइज़र की तीन कक्षाओं की लंबाई दर्शाता है। उदाहरण के लिए, शीर्षक के तहत तालिका की पहली पंक्ति में अभिव्यक्ति 15 = 1+6+8 का अर्थ है कि पहली पंक्ति के क्रमचय समूह की डिग्री 15 है, और क्रमचय के एक बिंदु के स्टेबलाइज़र की तीन कक्षाओं की लंबाई समूह क्रमशः 1, 6 और 8 हैं।

Group Point stabilizer size Comments
A6 = L2(9) = Sp4(2)' = M10' S4 15 = 1+6+8 Pairs of points, or sets of 3 blocks of 2, in the 6-point permutation representation; two classes
A9 L2(8):3 120 = 1+56+63 Projective line P1(8); two classes
A10 (A5×A5):4 126 = 1+25+100 Sets of 2 blocks of 5 in the natural 10-point permutation representation
L2(8) 7:2 = Dih(7) 36 = 1+14+21 Pairs of points in P1(8)
L3(4) A6 56 = 1+10+45 Hyperovals in P2(4); three classes
L4(3) PSp4(3):2 117 = 1+36+80 Symplectic polarities of P3(3); two classes
G2(2)' = U3(3) PSL3(2) 36 = 1+14+21 Suzuki chain
U3(5) A7 50 = 1+7+42 The action on the vertices of the Hoffman-Singleton graph; three classes
U4(3) L3(4) 162 = 1+56+105 Two classes
Sp6(2) G2(2) = U3(3):2 120 = 1+56+63 The Chevalley group of type G2 acting on the octonion algebra over GF(2)
Ω7(3) G2(3) 1080 = 1+351+728 The Chevalley group of type G2 acting on the imaginary octonions of the octonion algebra over GF(3); two classes
U6(2) U4(3):22 1408 = 1+567+840 The point stabilizer is the image of the linear representation resulting from "bringing down" the complex representation of Mitchell's group (a complex reflection group) modulo 2; three classes
M11 M9:2 = 32:SD16 55 = 1+18+36 Pairs of points in the 11-point permutation representation
M12 M10:2 = A6.22 = PΓL(2,9) 66 = 1+20+45 Pairs of points, or pairs of complementary blocks of S(5,6,12), in the 12-point permutation representation; two classes
M22 24:A6 77 = 1+16+60 Blocks of S(3,6,22)
J2 U3(3) 100 = 1+36+63 Suzuki chain; the action on the vertices of the Hall-Janko graph
Higman-Sims group HS M22 100 = 1+22+77 The action on the vertices of the Higman-Sims graph
M22 A7 176 = 1+70+105 Two classes
M23 M21:2 = L3(4):22 = PΣL(3,4) 253 = 1+42+210 Pairs of points in the 23-point permutation representation
M23 24:A7 253 = 1+112+140 Blocks of S(4,7,23)
McLaughlin group McL U4(3) 275 = 1+112+162 The action on the vertices of the McLaughlin graph
M24 M22:2 276 = 1+44+231 Pairs of points in the 24-point permutation representation
G2(3) U3(3):2 351 = 1+126+244 Two classes
G2(4) J2 416 = 1+100+315 Suzuki chain
M24 M12:2 1288 = 1+495+792 Pairs of complementary dodecads in the 24-point permutation representation
Suzuki group Suz G2(4) 1782 = 1+416+1365 Suzuki chain
G2(4) U3(4):2 2016 = 1+975+1040
Co2 PSU6(2):2 2300 = 1+891+1408
Rudvalis group Ru 2F4(2) 4060 = 1+1755+2304
Fi22 2.PSU6(2) 3510 = 1+693+2816 3-transpositions
Fi22 Ω7(3) 14080 = 1+3159+10920 Two classes
Fi23 2.Fi22 31671 = 1+3510+28160 3-transpositions
G2(8).3 SU3(8).6 130816 = 1+32319+98496
Fi23 8+(3).S3 137632 = 1+28431+109200
Fi24' Fi23 306936 = 1+31671+275264 3-transpositions


टिप्पणियाँ

  1. The three orbits are: the fixed pair itself; those pairs having one element in common with the fixed pair; and those pairs having no element in common with the fixed pair.


संदर्भ