रैंक 3 क्रमचय समूह
गणितीय परिमित समूह सिद्धांत में एक रैंक 3 क्रमपरिवर्तन समूह एक सेट पर सकर्मक रूप से कार्य करता है जैसे कि एक बिंदु के स्थिरक में 3 कक्षाएं होती हैं इन समूहों का अध्ययन हिगमैन द्वारा 1964, 1971में प्रारंभ किया गया था छिटपुट सरल समूहों में से कई को रैंक 3 क्रमचय समूहों के रूप में खोजा गया था।
वर्गीकरण
आदिम रैंक 3 क्रमचय समूह निम्नलिखित वर्गों में से एक में हैं:
- Cameron (1981) ने उन्हें इस प्रकार वर्गीकृत किया है जहां सॉकल (गणित) T का T0 सरल है और टी0 डिग्री का 2-सकर्मक समूह है √n.
- Liebeck (1987) ने एक नियमित प्राथमिक एबेलियन सामान्य उपसमूह के साथ वर्गीकृत किया
- Bannai (1971–72) उन लोगों को वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण वैकल्पिक समूह है
- Kantor & Liebler (1982) उन लोगों को वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण शास्त्रीय समूह है
- Liebeck & Saxl (1986) उन लोगों को वर्गीकृत किया जिनका सामाजिक एक साधारण असाधारण या छिटपुट समूह है।
उदाहरण
यदि G समुच्चय S पर कार्य करने वाला कोई 4-सकर्मक समूह है, तो S के तत्वों के युग्मों पर इसकी क्रिया रैंक 3 क्रमचय समूह है।[1] विशेष रूप से अधिकांश वैकल्पिक समूहों, सममित समूहों और मैथ्यू समूहों में 4-सकर्मक क्रियाएं होती हैं, और इसलिए उन्हें रैंक 3 क्रमचय समूहों में बनाया जा सकता है।
प्रक्षेपी सामान्य रेखीय समूह कम से कम 3 आयाम के प्रक्षेपी स्थान में लाइनों पर कार्य करता है, एक रैंक -3 क्रमचय समूह है।
कई 3-ट्रांसपोजिशन समूह रैंक -3 क्रमचय समूह हैं (3-परिवर्तन समूह कार्रवाई में)।
रैंक-3 क्रमचय समूह के बिंदु-स्टेबलाइज़र के लिए यह एक कक्षा-3 क्रमचय समूह होने के लिए कक्षाओं में से एक पर कार्य करना आम है। यह रैंक-3 क्रमचय समूहों की कई श्रृंखलाएं देता है, जैसे सुजुकी श्रृंखला और फिशर समूहों के साथ समाप्त होने वाली श्रृंखला।
कुछ असामान्य रैंक-3 क्रमचय समूह (कई से (Liebeck & Saxl 1986)) नीचे सूचीबद्ध हैं।
नीचे दी गई तालिका में प्रत्येक पंक्ति के लिए, कॉलम चिह्नित आकार में ग्रिड में, बराबर चिह्न के बाईं ओर की संख्या पंक्ति में उल्लिखित क्रमचय समूह के लिए क्रमचय समूह की डिग्री है। ग्रिड में, समान चिह्न के दाईं ओर का योग क्रमचय समूह के एक बिंदु के स्टेबलाइज़र की तीन कक्षाओं की लंबाई दर्शाता है। उदाहरण के लिए, शीर्षक के तहत तालिका की पहली पंक्ति में अभिव्यक्ति 15 = 1+6+8 का अर्थ है कि पहली पंक्ति के क्रमचय समूह की डिग्री 15 है, और क्रमचय के एक बिंदु के स्टेबलाइज़र की तीन कक्षाओं की लंबाई समूह क्रमशः 1, 6 और 8 हैं।
| Group | Point stabilizer | size | Comments |
|---|---|---|---|
| A6 = L2(9) = Sp4(2)' = M10' | S4 | 15 = 1+6+8 | Pairs of points, or sets of 3 blocks of 2, in the 6-point permutation representation; two classes |
| A9 | L2(8):3 | 120 = 1+56+63 | Projective line P1(8); two classes |
| A10 | (A5×A5):4 | 126 = 1+25+100 | Sets of 2 blocks of 5 in the natural 10-point permutation representation |
| L2(8) | 7:2 = Dih(7) | 36 = 1+14+21 | Pairs of points in P1(8) |
| L3(4) | A6 | 56 = 1+10+45 | Hyperovals in P2(4); three classes |
| L4(3) | PSp4(3):2 | 117 = 1+36+80 | Symplectic polarities of P3(3); two classes |
| G2(2)' = U3(3) | PSL3(2) | 36 = 1+14+21 | Suzuki chain |
| U3(5) | A7 | 50 = 1+7+42 | The action on the vertices of the Hoffman-Singleton graph; three classes |
| U4(3) | L3(4) | 162 = 1+56+105 | Two classes |
| Sp6(2) | G2(2) = U3(3):2 | 120 = 1+56+63 | The Chevalley group of type G2 acting on the octonion algebra over GF(2) |
| Ω7(3) | G2(3) | 1080 = 1+351+728 | The Chevalley group of type G2 acting on the imaginary octonions of the octonion algebra over GF(3); two classes |
| U6(2) | U4(3):22 | 1408 = 1+567+840 | The point stabilizer is the image of the linear representation resulting from "bringing down" the complex representation of Mitchell's group (a complex reflection group) modulo 2; three classes |
| M11 | M9:2 = 32:SD16 | 55 = 1+18+36 | Pairs of points in the 11-point permutation representation |
| M12 | M10:2 = A6.22 = PΓL(2,9) | 66 = 1+20+45 | Pairs of points, or pairs of complementary blocks of S(5,6,12), in the 12-point permutation representation; two classes |
| M22 | 24:A6 | 77 = 1+16+60 | Blocks of S(3,6,22) |
| J2 | U3(3) | 100 = 1+36+63 | Suzuki chain; the action on the vertices of the Hall-Janko graph |
| Higman-Sims group HS | M22 | 100 = 1+22+77 | The action on the vertices of the Higman-Sims graph |
| M22 | A7 | 176 = 1+70+105 | Two classes |
| M23 | M21:2 = L3(4):22 = PΣL(3,4) | 253 = 1+42+210 | Pairs of points in the 23-point permutation representation |
| M23 | 24:A7 | 253 = 1+112+140 | Blocks of S(4,7,23) |
| McLaughlin group McL | U4(3) | 275 = 1+112+162 | The action on the vertices of the McLaughlin graph |
| M24 | M22:2 | 276 = 1+44+231 | Pairs of points in the 24-point permutation representation |
| G2(3) | U3(3):2 | 351 = 1+126+244 | Two classes |
| G2(4) | J2 | 416 = 1+100+315 | Suzuki chain |
| M24 | M12:2 | 1288 = 1+495+792 | Pairs of complementary dodecads in the 24-point permutation representation |
| Suzuki group Suz | G2(4) | 1782 = 1+416+1365 | Suzuki chain |
| G2(4) | U3(4):2 | 2016 = 1+975+1040 | |
| Co2 | PSU6(2):2 | 2300 = 1+891+1408 | |
| Rudvalis group Ru | 2F4(2) | 4060 = 1+1755+2304 | |
| Fi22 | 2.PSU6(2) | 3510 = 1+693+2816 | 3-transpositions |
| Fi22 | Ω7(3) | 14080 = 1+3159+10920 | Two classes |
| Fi23 | 2.Fi22 | 31671 = 1+3510+28160 | 3-transpositions |
| G2(8).3 | SU3(8).6 | 130816 = 1+32319+98496 | |
| Fi23 | PΩ8+(3).S3 | 137632 = 1+28431+109200 | |
| Fi24' | Fi23 | 306936 = 1+31671+275264 | 3-transpositions |
टिप्पणियाँ
- ↑ The three orbits are: the fixed pair itself; those pairs having one element in common with the fixed pair; and those pairs having no element in common with the fixed pair.
संदर्भ
- Bannai, Eiichi (1971–72), "Maximal subgroups of low rank of finite symmetric and alternating groups", Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics, 18: 475–486, ISSN 0040-8980, MR 0357559
- Brouwer, A. E.; Cohen, A. M.; Neumaier, Arnold (1989), Distance-regular graphs, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 18, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-50619-5, MR 1002568
- Cameron, Peter J. (1981), "Finite permutation groups and finite simple groups", The Bulletin of the London Mathematical Society, 13 (1): 1–22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628, doi:10.1112/blms/13.1.1, ISSN 0024-6093, MR 0599634
- Higman, Donald G. (1964), "Finite permutation groups of rank 3" (PDF), Mathematische Zeitschrift, 86 (2): 145–156, doi:10.1007/BF01111335, hdl:2027.42/46298, ISSN 0025-5874, MR 0186724, S2CID 51836896
- Higman, Donald G. (1971), "A survey of some questions and results about rank 3 permutation groups", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), vol. 1, Gauthier-Villars, pp. 361–365, MR 0427435
- Kantor, William M.; Liebler, Robert A. (1982), "The rank 3 permutation representations of the finite classical groups" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 271 (1): 1–71, doi:10.2307/1998750, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998750, MR 0648077
- Liebeck, Martin W. (1987), "The affine permutation groups of rank three", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 54 (3): 477–516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735, doi:10.1112/plms/s3-54.3.477, ISSN 0024-6115, MR 0879395
- Liebeck, Martin W.; Saxl, Jan (1986), "The finite primitive permutation groups of rank three", The Bulletin of the London Mathematical Society, 18 (2): 165–172, doi:10.1112/blms/18.2.165, ISSN 0024-6093, MR 0818821
