करौबी लिफाफा

गणित में एक श्रेणी (गणित) सी का करौबी लिफाफा (या कॉची पूर्णता या बेवकूफ पूर्णता) एक सहायक श्रेणी के माध्यम से सी के बेवकूफों का वर्गीकरण है। पूर्ववर्ती श्रेणी के करौबी लिफाफे को लेने से छद्म-अबेलियन श्रेणी मिलती है, इसलिए निर्माण को कभी-कभी छद्म-अबेलियन पूर्णता कहा जाता है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ मैक्स करौबी के नाम पर रखा गया है।

एक श्रेणी सी को देखते हुए, सी का एक बेवकूफ एक एंडोमोर्फिज्म है

$e:A\rightarrow A$

साथ

$e\circ e=e$.

एक idempotent e: A → A को 'विभाजित' कहा जाता है यदि कोई वस्तु B है और morphisms f: A → B है, g : B → A इस प्रकार है कि e = g f और 1_B = एफ जी।

'सी' का 'करौबी लिफाफा', जिसे कभी-कभी 'स्प्लिट (सी)' लिखा जाता है, वह श्रेणी है जिसकी वस्तुएं फॉर्म (ए, ई) के जोड़े हैं जहां ए 'सी' की वस्तु है और $e:A\rightarrow A$ सी का एक आदर्श है, और जिसका आकार त्रिगुण है

$(e,f,e^{\prime }):(A,e)\rightarrow (A^{\prime },e^{\prime })$

कहाँ $f:A\rightarrow A^{\prime }$ सी संतोषजनक का एक आकार है $e^{\prime }\circ f=f=f\circ e$ (या समकक्ष $f=e'\circ f\circ e$).

स्प्लिट (सी) में रचना सी के रूप में है, लेकिन पहचान रूपवाद पर $(A,e)$ स्प्लिट (सी) में है $(e,e,e)$, इसके बजाय पर पहचान $A$.

श्रेणी सी स्प्लिट (सी) में पूरी तरह से और ईमानदारी से एम्बेड होती है। स्प्लिट (सी) में प्रत्येक बेवकूफ विभाजित होता है, और स्प्लिट (सी) इस संपत्ति के साथ सार्वभौमिक श्रेणी है। एक श्रेणी सी के करौबी लिफाफे को इसलिए सी के पूरा होने के रूप में माना जा सकता है जो बेवकूफों को विभाजित करता है।

श्रेणी सी के करौबी लिफाफे को समान रूप से पूर्ण उपश्रेणी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है ${\hat {\mathbf {C} }}$ (प्रीशेफ (श्रेणी सिद्धांत) सी पर) प्रतिनिधित्व करने योग्य फ़ैक्टरों के पीछे हटना। सी पर प्रीशेव की श्रेणी स्प्लिट (सी) पर प्रीशेव की श्रेणी के बराबर है।

करौबी लिफाफे में automorphism

स्प्लिट (सी) में एक ऑटोमोर्फिज्म फॉर्म का है $(e,f,e):(A,e)\rightarrow (A,e)$, उलटा के साथ $(e,g,e):(A,e)\rightarrow (A,e)$ संतुष्टि देने वाला:

$g\circ f=e=f\circ g$

$g\circ f\circ g=g$

$f\circ g\circ f=f$

अगर पहले समीकरण में ढील दी जाए तो बस है $g\circ f=f\circ g$, तो f एक आंशिक स्वाकारता है (प्रतिलोम g के साथ)। 'स्प्लिट (सी)' में ए (आंशिक) जुड़ाव एक स्व-उलटा (आंशिक) ऑटोमोर्फिज्म है।

उदाहरण

• यदि C में उत्पाद हैं, तो एक तुल्याकारिता दी गई है $f:A\rightarrow B$ मानचित्रण $f\times f^{-1}:A\times B\rightarrow B\times A$, विहित मानचित्र से बना है $\gamma :B\times A\rightarrow A\times B$ समरूपता का, आंशिक समावेशन (गणित) है।
• यदि C एक त्रिकोणीय श्रेणी है, तो करौबी लिफाफा स्प्लिट (C) को त्रिकोणीय श्रेणी की संरचना से संपन्न किया जा सकता है, जैसे कि कैनोनिकल फ़ंक्टर C → स्प्लिट (C) एक त्रिकोणीय फ़ंक्टर बन जाता है।
• करौबी लिफाफे का उपयोग कई श्रेणियों के मकसद (बीजीय ज्यामिति) के निर्माण में किया जाता है।
• करौबी लिफ़ाफ़ा निर्माण आसन्न मज़दूरों के लिए अर्ध-संबंध लेता है। इस कारण करौबी एनवेलप का उपयोग अनटाइप्ड लैम्ब्डा कैलकुलस के मॉडल के अध्ययन में किया जाता है। एक विस्तारित लैम्ब्डा मॉडल (एक मोनोइड, जिसे एक श्रेणी के रूप में माना जाता है) का करौबी लिफाफा कार्टेशियन बंद है।
• किसी भी रिंग के ऊपर प्रक्षेपी मॉड्यूल की श्रेणी मुक्त मॉड्यूल की पूर्ण उपश्रेणी का करौबी लिफाफा है।
• किसी भी पैराकॉम्पैक्ट स्पेस पर वेक्टर बंडलों की श्रेणी तुच्छ बंडलों की पूरी उपश्रेणी का करौबी लिफाफा है। यह वास्तव में सेरे-स्वान प्रमेय द्वारा पिछले उदाहरण का एक विशेष मामला है और इसके विपरीत इस प्रमेय को पहले इन दोनों तथ्यों को साबित करके सिद्ध किया जा सकता है, यह अवलोकन कि वैश्विक खंड फ़ैक्टर तुच्छ वेक्टर बंडलों के बीच एक समानता है $X$ और मुफ्त मॉड्यूल खत्म $C(X)$ और फिर करौबी लिफाफे की सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग करना।

संदर्भ

• Balmer, Paul; Schlichting, Marco (2001), "Idempotent completion of triangulated categories" (PDF), Journal of Algebra, 236 (2): 819–834, doi:10.1006/jabr.2000.8529, ISSN 0021-8693