सहसंबंध (प्रोजेक्टिव ज्यामिति)

This article is about प्रक्षेपी ज्यामिति में कॉररेजन. For other uses, see कॉररेजन(बहुविकल्पी).

प्रोजेक्टिव ज्यामिति में, कॉररेजन डी आयामी प्रोजेक्टिव स्थान का रूपांतरण होता है, जो प्रोजेक्टिव स्थान को मैप करता है और आयाम K के प्रोजेक्टिव उपस्थान को आयाम d − k − 1 के उपस्थान के रूप में मैप करता है। समावेशन को उलटना सेट सिद्धांत और घटना को संरक्षित करना है और इस प्रकार ज्यामिति कॉररेजन को पारस्परिकता या पारस्परिक रूपांतरण भी कहा जाता है।

दो आयामों में

वास्तविक प्रोजेक्टिव तल में, बिंदु और रेखाएँ एक दूसरे के लिए द्वैत (प्रोजेक्टिव ज्यामिति) के रूप में हैं। जैसा कॉक्सेटर द्वारा व्यक्त किया गया है,

कॉररेजन एक बिंदु से रेखा और एक रेखा से बिंदु रूपांतरण है, जो द्वैत के सिद्धांत के अनुसार घटनाओं के संबंध को संरक्षित करता है। इस प्रकार यह प्रक्षेप्य सीमा को पेंसिल (गणित) में, पेंसिल को रेंज में परिवर्तित कर देती है और इस प्रकार चतुष्कोणों को चतुर्भुज के रूप में इसी तरह बदल देता है।

एक रेखा m और P को एक बिंदु दिया गया है जो m पर नहीं है, एक प्रारंभिक कॉररेजन निम्नानुसार प्राप्त होता है, जो m पर प्रत्येक Q के लिए रेखा PQ बनाते हैं और इस प्रकार व्युत्क्रम फलन कॉररेजन P पर पेंसिल से शुरू होता है। इस पेंसिल में किसी भी रेखा q के लिए बिंदु m ∩ q. एक ही पेंसिल साझा करने वाले दो कॉररेजन की कार्य संरचना एक परिप्रेक्ष्य के रूप में होती है।

तीन आयामों में

एक 3-आयामी प्रोजेक्टिव स्थान में एक कॉररेजन एक बिंदु को एक विमान (ज्यामिति) पर मैप करता है। जैसा कि एक पाठ्यपुस्तक में कहा गया है:

यदि κ एक ऐसा कॉररेजन है, तो प्रत्येक बिंदु P इसके द्वारा एक समतल में रूपांतरित हो जाता है π′ = κP, और इसके विपरीत, प्रत्येक बिंदु P उलटा रूपांतरण κ द्वारा एक अद्वितीय विमान π' से उत्पन्न होता है^-1.

त्रि-आयामी कॉररेजन भी रेखाओं को रेखाओं में बदल देते हैं, इसलिए उन्हें दो स्थानों के संयोग माना जा सकता है।

उच्च आयामों में

सामान्य एन-आयामी प्रोजेक्टिव स्थान में, एक कॉररेजन एक hyperplane के लिए एक बिंदु लेता है। पॉल येल द्वारा इस संदर्भ का वर्णन किया गया था:

प्रोजेक्टिव स्थान 'पी' (वी) का कॉररेजन 'पी' (वी) के उचित उप-स्थानों का एक समावेशन-प्रतिवर्ती क्रमरूपांतरण है।

वह एक प्रमेय साबित करता है जिसमें कहा गया है कि एक कॉररेजन φ इंटरचेंज जुड़ता है और चौराहे करता है, और 'पी' (वी) के किसी भी प्रोजेक्टिव उपस्थान डब्ल्यू के लिए, φ के तहत डब्ल्यू की छवि का आयाम है (n − 1) − dim W, जहां n सदिश स्थान V का आयाम है जिसका उपयोग प्रोजेक्टिव स्थान 'P'(V) उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।

कॉररेजन का अस्तित्व

यदि स्थान स्व-द्वैत है तो ही कॉररेजन मौजूद हो सकते हैं। आयाम 3 और उच्चतर के लिए, स्व-द्वैत का परीक्षण करना आसान है: एक समन्वयकारी तिरछा क्षेत्र मौजूद है और स्व-द्वंद्व विफल हो जाता है यदि और केवल यदि तिरछा क्षेत्र इसके विपरीत आइसोमोर्फिक नहीं है।

विशेष प्रकार के कॉररेजन

ध्रुवीयता

यदि एक कॉररेजन φ एक अंतर्वलन (गणित) है (अर्थात, कॉररेजन के दो अनुप्रयोग पहचान के बराबर होते हैं: φ²(P) = P सभी बिंदुओं के लिए पी) तो इसे एक ध्रुव और ध्रुवीय कहा जाता है। प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान की ध्रुवीयताएं ध्रुवीय रिक्त स्थान की ओर ले जाती हैं, जो कि सभी उप-स्थानों का संग्रह ले कर परिभाषित की जाती हैं जो उनकी छवि में ध्रुवीयता के अंतर्गत निहित हैं।

प्राकृतिक कॉररेजन

प्रोजेक्टिव स्थान P(V) और इसके दोहरे P(V के बीच प्रेरित एक प्राकृतिक कॉररेजन है^∗) प्राकृतिक जोड़ी द्वारा ⟨⋅,⋅⟩ अंतर्निहित वेक्टर रिक्त स्थान V और इसके दोहरे स्थान V के बीच^∗, जहां V की प्रत्येक उपसमष्टि W^∗ को इसके ऑर्थोगोनल पूरक W से मैप किया गया है^{V में ⊥}, के रूप में परिभाषित किया गया है W^⊥ = {v ∈ V | ⟨w, v⟩ = 0, ∀w ∈ W}.

इस प्राकृतिक कॉररेजन की रचना एक सेमिलिनियर मानचित्र द्वारा प्रेरित प्रक्षेप्य रिक्त स्थान के समरूपता के साथ स्वयं P(V) का कॉररेजन उत्पन्न करता है। इस तरह, हर गैर-डीजेनेरेटेड सेमीलीनियर मैप V → V^∗ खुद के लिए एक प्रोजेक्टिव स्थान का कॉररेजन प्रेरित करता है।

संदर्भ

• Robert J. Bumcroft (1969), Modern Projective Geometry, Holt, Rinehart, and Winston, Chapter 4.5 Correlations p. 90
• Robert A. Rosenbaum (1963), Introduction to Projective Geometry and Modern Algebra, Addison-Wesley, p. 198