टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी)

स्केलर (गणित), यूक्लिडियन वेक्टर और दूसरे क्रम के टेन्सर के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर के दिशात्मक व्युत्पन्न सातत्य यांत्रिकी में काफी उपयोग के हैं। इन डेरिवेटिव का उपयोग नॉनलाइनियर लोच और प्लास्टिसिटी (भौतिकी) के सिद्धांतों में किया जाता है, विशेष रूप से संख्यात्मक सिमुलेशन के लिए एल्गोरिदम के डिजाइन में। दिशात्मक व्युत्पन्न इन व्युत्पन्नों को खोजने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है।

वैक्टर और दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में डेरिवेटिव

विभिन्न स्थितियों के लिए दिशात्मक डेरिवेटिव की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। यह माना जाता है कि कार्य पर्याप्त रूप से सुचारू हैं कि डेरिवेटिव लिया जा सकता है।

सदिशों के अदिश मान वाले कार्यों के डेरिवेटिव्स

मान लीजिए कि f('v') सदिश 'v' का वास्तविक मान फलन है। फिर 'v' (या 'v') के संबंध में f('v') का व्युत्पन्न 'वेक्टर' है जो किसी भी वेक्टर 'यू' के साथ अपने डॉट उत्पाद के माध्यम से परिभाषित होता है

$${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}$$

सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद एक स्केलर उत्पन्न करता है, और यदि यू एक यूनिट वेक्टर है तो यू दिशा में वी पर 'एफ' का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।

गुण:

1. अगर $f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )$ तब ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u}$
2. अगर $f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )$ तब ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)$
3. अगर $f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))$ तब ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u}$

सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव्स

चलो f(v) सदिश v का एक सदिश मान फलन हो। फिर v (या v पर) के संबंध में f(v) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके डॉट उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है

$${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}$$

सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद एक वेक्टर उत्पन्न करता है, और यदि यू एक इकाई वेक्टर है, तो दिशात्मक यू में, v पर f का डेरिवेटिव देता है।

गुण:

1. अगर $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )$ तब ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u}$
2. अगर $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )$ तब ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)$
3. अगर $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))$ तब ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)$

दूसरे क्रम के टेंसरों के स्केलर वैल्यू वाले कार्यों के डेरिवेटिव

होने देना $f({\boldsymbol {S}})$ दूसरे क्रम के टेंसर का वास्तविक मूल्यवान कार्य हो ${\boldsymbol {S}}$. फिर की व्युत्पत्ति $f({\boldsymbol {S}})$ इसके संबंध में ${\boldsymbol {S}}$ (या कि ${\boldsymbol {S}}$) दिशा में ${\boldsymbol {T}}$ दूसरे क्रम के टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है

$${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}$$

सभी दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए ${\boldsymbol {T}}$.

गुण:

1. अगर $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})$ तब ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}$
2. अगर $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})$ तब ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$
3. अगर $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))$ तब ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$

===दूसरे क्रम के टेंसर === के टेन्सर मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव होने देना ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})$ दूसरे क्रम के टेंसर का दूसरा ऑर्डर टेन्सर वैल्यू फंक्शन हो ${\boldsymbol {S}}$. फिर की व्युत्पत्ति ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})$ इसके संबंध में ${\boldsymbol {S}}$ (या कि ${\boldsymbol {S}}$) दिशा में ${\boldsymbol {T}}$ चौथे क्रम के टेन्सर के रूप में परिभाषित किया गया है

$${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}$$

सभी दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए ${\boldsymbol {T}}$.

गुण:

1. अगर ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})$ तब ${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}$
2. अगर ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})$ तब ${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$
3. अगर ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))$ तब ${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$
4. अगर $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))$ तब ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$

टेंसर फ़ील्ड का ग्रेडियेंट

ढाल, ${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}$, एक टेंसर क्षेत्र का ${\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )$ एक मनमाना स्थिर सदिश c की दिशा में इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}\cdot \mathbf {c} =\lim _{\alpha \rightarrow 0}\quad {\cfrac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} +\alpha \mathbf {c} )$$

ऑर्डर n के टेंसर फ़ील्ड का ग्रेडिएंट ऑर्डर n+1 का टेंसर फ़ील्ड है।

कार्टेशियन निर्देशांक

Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.

अगर $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर हैं, बिंदुओं के निर्देशांक के साथ निरूपित किया गया है ($x_{1},x_{2},x_{3}$), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट ${\boldsymbol {T}}$ द्वारा दिया गया है

$${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}$$

Proof

The vectors x and c can be written as $\mathbf {x} =x_{i}~\mathbf {e} _{i}$ and $\mathbf {c} =c_{i}~\mathbf {e} _{i}$. Let y := x + αc. In that case the gradient is given by

$$\begin{array}{rl}\mathbf{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\mathit{T}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{c}& ={\frac{d}{d\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathit{T}(x_1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{c}_1,x_2+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{c}_2,x_3+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{c}_3)|}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0}\equiv <!--\; \equiv \; -->{\frac{d}{d\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathit{T}(y_1,y_2,y_3)|}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0}\\ & ={\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{T}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_1}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{T}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_2}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{T}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_3}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_3}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right]}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0}={\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{T}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_1}{c}_1+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{T}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_2}{c}_2+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{T}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}_3}{c}_3\right]}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0}\\ & =\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{T}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}{c}_1+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{T}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_2}{c}_2+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{T}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_3}{c}_3\equiv <!--\; \equiv \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathit{T}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}{c}_i\end{array}$$

चूंकि कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर भिन्न नहीं होते हैं, हमारे पास स्केलर फ़ील्ड के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं $\phi$, एक सदिश क्षेत्र v, और एक दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र ${\boldsymbol {S}}$.

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi &={\cfrac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{i}=\phi _{,i}~\mathbf {e} _{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\cfrac {\partial (v_{j}\mathbf {e} _{j})}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}={\cfrac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}=v_{j,i}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\cfrac {\partial (S_{jk}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k})}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}={\cfrac {\partial S_{jk}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{i}=S_{jk,i}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{i}\end{aligned}}$$

वक्रीय निर्देशांक

Main article: Tensors in curvilinear coordinates

Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.

अगर $\mathbf {g} ^{1},\mathbf {g} ^{2},\mathbf {g} ^{3}$ वक्रीय निर्देशांक प्रणाली में सदिशों के आधार वाले सदिशों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण होते हैं, जिन्हें बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है ($\xi ^{1},\xi ^{2},\xi ^{3}$), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट ${\boldsymbol {T}}$ द्वारा दिया गया है (देखें सबूत के लिए।)

$${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}$$

इस परिभाषा से हमारे पास स्केलर फ़ील्ड के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं $\phi$, एक सदिश क्षेत्र v, और एक दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र ${\boldsymbol {S}}$.

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi &={\frac {\partial \phi }{\partial \xi ^{i}}}~\mathbf {g} ^{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\frac {\partial \left(v^{j}\mathbf {g} _{j}\right)}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial v^{j}}{\partial \xi ^{i}}}+v^{k}~\Gamma _{ik}^{j}\right)~\mathbf {g} _{j}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-v_{k}~\Gamma _{ij}^{k}\right)~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial \left(S_{jk}~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{k}\right)}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial S_{jk}}{\partial \xi _{i}}}-S_{lk}~\Gamma _{ij}^{l}-S_{jl}~\Gamma _{ik}^{l}\right)~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{k}\otimes \mathbf {g} ^{i}\end{aligned}}$$

जहां क्रिस्टोफेल प्रतीक है $\Gamma _{ij}^{k}$ का प्रयोग करके परिभाषित किया गया है

$$\Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {g} _{k}={\frac {\partial \mathbf {g} _{i}}{\partial \xi ^{j}}}\quad \implies \quad \Gamma _{ij}^{k}={\frac {\partial \mathbf {g} _{i}}{\partial \xi ^{j}}}\cdot \mathbf {g} ^{k}=-\mathbf {g} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {g} ^{k}}{\partial \xi ^{j}}}$$

बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक

बेलनाकार निर्देशांक में, ढाल द्वारा दिया जाता है

$${\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )$$