लायपुनोव आयाम

गतिशील प्रणालियों के गणित में लायपुनोव आयाम की अवधारणा कापलान-यॉर्क अनुमान द्वारा सुझाई गई थी आकर्षित करने वालों के हॉसडॉर्फ आयाम का अनुमान लगाने के लिए इसके अतिरिक्त इस अवधारणा को विकसित किया गया है और कई पत्रों में वास्तवता से उचित ठहराया गया है और आजकल लाइपुनोव आयाम की परिभाषा के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का उपयोग किया जाता है। टिप्पणी करें कि गैर-पूर्णांक हौसडॉर्फ आयाम वाले आकर्षणकर्ताओं को आकर्षणकर्ता या विचित्र आकर्षणक कहा जाता है। चूंकि आकर्षित करने वालों के हॉसडॉर्फ आयाम का प्रत्यक्ष संख्यात्मक विश्लेषण अधिकांशतः उच्च संख्यात्मक जटिलता की समस्या है लायपुनोव आयाम के माध्यम से अनुमान व्यापक रूप से फैल गए। लायपुनोव आयाम का नाम रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर लायपुनोव के नाम पर रखा गया था क्योंकि लायपुनोव के प्रतिपादकों के साथ घनिष्ठ संबंध था।

परिभाषाएँ

एक गतिशील प्रणाली पर विचार करें ${\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|){\big )}$, जहां $\varphi ^{t}$ समाधानों के साथ शिफ्ट ऑपरेटर है: $\varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})$, ओडीई ${\dot {u}}=f({u})$,$t\leq 0$, या अंतर समीकरण ${u}(t+1)=f({u}(t))$, $t=0,1,...$, लगातार अलग-अलग वेक्टर के साथ- कार्य $f$ फिर $D\varphi ^{t}(u)$ रैखिककृत प्रणाली के समाधान का मौलिक मैट्रिक्स (रैखिक अंतर समीकरण) है और $\sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t}(u)),\ i=1...n$ द्वारा निरूपित करता है, उनकी बीजगणितीय बहुलता के संबंध में एकवचन मान, किसी भी $u$ और $t$ के लिए घटते क्रम में है

परिमित-समय लायपुनोव आयाम के माध्यम से परिभाषा

एन कुज़नेत्सोव द्वारा काम में विकसित परिमित-समय ल्यापुनोव आयाम और ल्यापुनोव आयाम की संबंधित परिभाषा, संख्यात्मक प्रयोगों के लिए सुविधाजनक है जहां केवल परिमित समय देखा जा सकता है। परिमित समय ल्यपुनोव एक्सपोनेंट्स के लिए कपलान-यॉर्क सूत्र के एक एनालॉग पर विचार करें:

$d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{|{\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u)|}},$

$j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LE}}_{i}(t,u)\geq 0\},$

परिमित समय लायपुनोव घातांक के आदेशित सेट के संबंध में $\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}$ बिंदु $u$ पर