पहचान प्रमेय

वास्तविक विश्लेषण और जटिल विश्लेषण में, गणित की शाखाएँ, विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए पहचान प्रमेय बताती हैं: दिए गए कार्य f और g विश्लेषणात्मक एक डोमेन पर (गणितीय विश्लेषण) D (खुला और जुड़ा हुआ सबसेट का $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$), अगर कुछ पर एफ = जी $S\subseteq D$, कहाँ $S$ एक संचय बिंदु है, तो डी पर एफ = जी।

इस प्रकार एक विश्लेषणात्मक कार्य पूरी तरह से डी में एक खुले पड़ोस, या यहां तक ​​​​कि डी के एक गणनीय उपसमुच्चय पर इसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है (बशर्ते इसमें एक अभिसरण अनुक्रम शामिल हो)। यह सामान्य रूप से वास्तविक-विभेदी कार्यों के लिए सही नहीं है, यहाँ तक कि चिकनाई भी। असीम रूप से वास्तविक-भिन्न कार्यों के लिए। इसकी तुलना में, विश्लेषणात्मक कार्य बहुत अधिक कठोर धारणा हैं। अनौपचारिक रूप से, कभी-कभी यह कहकर प्रमेय को सारांशित करता है कि विश्लेषणात्मक कार्य कठिन हैं (जैसा कि कहते हैं, निरंतर कार्य जो नरम हैं)।

आधारभूत तथ्य जिससे प्रमेय स्थापित किया गया है, होलोमोर्फिक कार्यों की विश्लेषणात्मकता है।

डोमेन डी पर जुड़ाव की धारणा आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि D में दो असंयुक्त खुले सेट होते हैं, $f$ हो सकता है $0$ एक खुले सेट पर, और $1$ दूसरे पर, जबकि $g$ है $0$ एक पर, और $2$ किसी दूसरे पर।

लेम्मा

यदि दो होलोमोर्फिक कार्य करते हैं $f$ और $g$ एक डोमेन पर डी एक सेट एस पर सहमत होता है जिसमें एक संचय बिंदु होता है $c$ में $D$, तब $f=g$ एक डिस्क पर $D$ पर केंद्रित है $c$.

यह साबित करने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है $f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)$ सभी के लिए $n\geq 0$.

अगर ऐसा नहीं होता है, चलो $m$ के साथ सबसे छोटा गैर-नकारात्मक पूर्णांक बनें $f^{(m)}(c)\neq g^{(m)}(c)$. होलोमॉर्फी द्वारा, हमारे पास कुछ खुले पड़ोस यू में निम्नलिखित टेलर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व है $c$:

${\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{\frac {(z-c)\cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z).\end{aligned}}$

निरंतरता से, $h$ कुछ छोटी खुली डिस्क में शून्य नहीं है $B$ आस-पास $c$. परन्तु फिर $f-g\neq 0$ प�