ड्रैग समीकरण

द्रव गतिकी में, ड्रैग समीकरण एक सूत्र है जिसका उपयोग पूरी तरह से संलग्न द्रव के माध्यम से गति के कारण किसी वस्तु द्वारा अनुभव किए गए ड्रैग (भौतिकी) के बल की गणना के लिए किया जाता है। समीकरण है:

$$F_{\rm {d}}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,u^{2}\,c_{\rm {d}}\,A$$

कहाँ

• $F_{\rm {d}}$ ड्रैग ताकत है, जो परिभाषा के अनुसार प्रवाह वेग की दिशा में बल घटक है,
• $\rho$ द्रव का द्रव्यमान घनत्व है,
• $u$ वस्तु के सापेक्ष प्रवाह वेग है,
• $A$ संदर्भ क्षेत्र है, और
• $c_{\rm {d}}$ ड्रैग गुणांक है - ऑब्जेक्ट की ज्यामिति से संबंधित एक आयाम रहित संख्या भौतिक गुणांक और त्वचा घर्षण और फॉर्म ड्रैग दोनों को ध्यान में रखते हुए। यदि द्रव तरल है, $c_{\rm {d}}$ रेनॉल्ड्स संख्या पर निर्भर करता है; यदि द्रव गैस है, $c_{\rm {d}}$ रेनॉल्ड्स संख्या और मैक संख्या दोनों पर निर्भर करता है।

समीकरण का श्रेय लॉर्ड रेले को दिया जाता है, जिन्होंने मूल रूप से एल² A के स्थान पर (L कुछ रैखिक आयाम होने के साथ)। संदर्भ क्षेत्र ए को आम तौर पर गति की दिशा में लंबवत विमान पर ऑब्जेक्ट के लिखने का प्रक्षेपण के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है। साधारण आकृति वाली गैर-खोखली वस्तुओं के लिए, जैसे कि एक गोला, यह बिल्कुल अधिकतम अनुप्रस्थ काट (ज्यामिति) क्षेत्र के समान है। अन्य वस्तुओं के लिए (उदाहरण के लिए, एक रोलिंग ट्यूब या साइकिल चालक का शरीर), ए गति की दिशा में लंबवत किसी भी विमान के साथ किसी भी क्रॉस सेक्शन के क्षेत्र से काफी बड़ा हो सकता है। संदर्भ क्षेत्र के रूप में एयरफॉइल्स तार (विमान) के वर्ग का उपयोग करते हैं; चूँकि एयरफ़ॉइल कॉर्ड्स को आमतौर पर 1 की लंबाई के साथ परिभाषित किया जाता है, संदर्भ क्षेत्र भी 1 होता है। विमान संदर्भ क्षेत्र के रूप में विंग क्षेत्र (या रोटर-ब्लेड क्षेत्र) का उपयोग करता है, जो लिफ्ट (बल) की तुलना करना आसान बनाता है। हवाई पोत और क्रांति का ठोस ड्रैग के वॉल्यूमेट्रिक गुणांक का उपयोग करते हैं, जिसमें संदर्भ क्षेत्र एयरशिप के आयतन के घनमूल का वर्ग होता है। कभी-कभी एक ही वस्तु के लिए अलग-अलग संदर्भ क्षेत्र दिए जाते हैं, इस मामले में इन अलग-अलग क्षेत्रों में से प्रत्येक के अनुरूप ड्रैग गुणांक दिया जाना चाहिए।

शार्प-कॉर्नर्ड दिखावे का शरीर के लिए, जैसे स्क्वायर सिलिंडर और प्लेट्स को प्रवाह दिशा में अनुप्रस्थ रखा जाता है, यह समीकरण ड्रैग गुणांक के साथ एक स्थिर मान के रूप में लागू होता है जब रेनॉल्ड्स संख्या 1000 से अधिक होती है। चिकने शरीर के लिए, एक सिलेंडर की तरह, रेनॉल्ड्स की संख्या 10 तक होने तक ड्रैग गुणांक काफी भिन्न हो सकता है⁷ (दस मिलियन)।

चर्चा

आदर्श स्थिति के लिए समीकरण को आसानी से समझा जा सकता है, जहां सभी तरल पदार्थ संदर्भ क्षेत्र से टकराते हैं और एक पूर्ण विराम पर आते हैं, जिससे पूरे क्षेत्र में दबाव # ठहराव का दबाव बढ़ जाता है। कोई वास्तविक वस्तु वास्तव में इस व्यवहार से मेल नहीं खाती। $c_{\rm {d}}$ किसी भी वास्तविक वस्तु के लिए आदर्श वस्तु के ड्रैग का अनुपात है। अभ्यास में एक खुरदुरा अ-सुव्यवस्थित शरीर (एक ब्लफ़ बॉडी) में a $c_{\rm {d}}$ लगभग 1, कम या ज्यादा। चिकनी वस्तुओं के बहुत कम मान हो सकते हैं $c_{\rm {d}}$. समीकरण सटीक है - यह केवल की परिभाषा प्रदान करता है $c_{\rm {d}}$ (ड्रैग गुणांक), जो रेनॉल्ड्स संख्या के साथ बदलता रहता है और प्रयोग द्वारा पाया जाता है।

का विशेष महत्व है $u^{2}$ प्रवाह वेग पर निर्भरता, जिसका अर्थ है कि द्रव का वेग प्रवाह वेग के वर्ग के साथ बढ़ता है। जब प्रवाह वेग दोगुना हो जाता है, उदाहरण के लिए, न केवल द्रव प्रवाह वेग के दोगुने के साथ टकराता है, बल्कि द्रव का द्रव्यमान प्रति सेकंड दोगुना होता है। इसलिए, प्रति समय संवेग में परिवर्तन, यानी अनुभव किए गए बल को चार से गुणा किया जाता है। यह ठोस-पर-ठोस घर्षण#काइनेटिक घर्षण के विपरीत है, जिसमें आम तौर पर वेग पर बहुत कम निर्भरता होती है।

गतिशील दबाव के साथ संबंध

ड्रैग फोर्स को भी निर्दिष्ट किया जा सकता है

$$F_{\rm {d}}\propto P_{\rm {D}}A$$

जहां पी_D क्षेत्र A पर द्रव द्वारा डाला गया दबाव है। यहाँ दबाव P है_D सापेक्ष प्रवाह वेग यू का अनुभव करने वाले द्रव की गतिज ऊर्जा के कारण गतिशील दबाव के रूप में जाना जाता है। इसे गतिज ऊर्जा समीकरण के समान रूप में परिभाषित किया गया है:

$$P_{\rm {D}}={\frac {1}{2}}\rho u^{2}$$

व्युत्पत्ति

आयामी विश्लेषण की विधि द्वारा ड्रैग समीकरण को गुणक स्थिरांक के भीतर प्राप्त किया जा सकता है। यदि गतिमान द्रव किसी वस्तु से मिलता है, तो यह वस्तु पर एक बल लगाता है। मान लीजिए कि द्रव एक तरल है, और शामिल चर - कुछ शर्तों के तहत - हैं:

• गति यू,
• द्रव घनत्व ρ,
• श्यानता#गतिशील और गतिज श्यानता ν द्रव की,
• शरीर का आकार, इसके गीले क्षेत्र ए के संदर्भ में व्यक्त किया गया, और
• खींचें बल एफ_d.

बकिंघम π प्रमेय के एल्गोरिदम का उपयोग करके, इन पांच चरों को दो आयाम रहित समूहों में घटाया जा सकता है:

• खींचें गुणांक सी_d और
• रेनॉल्ड्स नंबर रे।

यह इतना स्पष्ट हो जाता है जब ड्रैग फोर्स F_d समस्या में अन्य चर के एक समारोह के हिस्से के रूप में व्यक्त किया गया है:

$$f_{a}(F_{\rm {d}},u,A,\rho ,\nu )=0.$$

अभिव्यक्ति के इस बल्कि विषम रूप का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह एक-से-एक संबंध नहीं मानता है। यहाँ, एफ_aकुछ (अभी तक अज्ञात) कार्य है जो पांच तर्क लेता है। अब इकाइयों की किसी भी प्रणाली में दाहिनी ओर शून्य है; इसलिए f द्वारा वर्णित संबंध को व्यक्त करना संभव होना चाहिए_aकेवल आयामहीन समूहों के संदर्भ में।

f के पाँच तर्कों को संयोजित करने के कई तरीके हैं_aआयाम रहित समूह बनाने के लिए, लेकिन बकिंघम π प्रमेय कहता है कि ऐसे दो समूह होंगे। सबसे उपयुक्त रेनॉल्ड्स संख्या है, जिसके द्वारा दिया गया है

$$\mathrm {Re} ={\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}$$

और ड्रैग गुणांक, द्वारा दिया गया

$$c_{\rm {d}}={\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}.$$

इस प्रकार पाँच चरों के कार्य को केवल दो चरों के दूसरे फलन से बदला जा सकता है:

$$f_b\left(\frac{F_{\mathrm{d}}}{\frac{1}{2}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}A{u}^2},\frac{u\sqrt{A}}{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\right)=$$