एलपी स्पेस

For the sequence space ℓ^p, see Sequence space § ℓp spaces.

गणित में एलपी स्पेस समारोह का विशेष स्थान हैं जिन्हें सामान्य गत पी साधरणतया प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित गया है पी परिमित आयामी सदिश के लिए मानदंड है उन्हें कभी-कभी लेबेस्गु स्पेस भी कहा जाता है जिसका नाम हेनरी लेबेस्ग्यू के नाम पर रखा गया है जबकि निकोलस बोरबाकी समूह के बोर बाकी 1927वें सबसे पहले फ्राइजेस रेज्जि द्वारा पेश किए गए। ([[#CITEREF|]]).

एम्बेडिंग

बोलचाल में अगर $1\leq p<q\leq \infty ,$ तब इसमें ऐसे $L^{p}(S,\mu )$ कार्य सम्मिलित हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं जबकि ये तत्व $L^{q}(S,\mu )$ अधिक फैलाया जा सकता है अर्ध रेखा पर लेबेस्गु माप पर विचार करें $(0,\infty ).$ इसमें एक सतत कार्य $L^{1}$ होता है लेकिन अनंत की ओर पर्याप्त तेजी से क्षय होना चाहिए जो दूसरी ओर निरंतर कार्य करता है $L^{\infty }$ को बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है लेकिन विस्फोट की अनुमति नहीं है नई तकनीकी परिणाम निम्नलिखित है लगता है कि $0<p<q\leq \infty .$ तब

1. $L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )$ अगर $S$ परिमित के समूह नहीं होते हैं लेकिन मनमाने ढंग से बड़े माप उदाहरण के लिए कोई परिमित माप
2. $L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )$ अगर और केवल अगर $S$ गैर-शून्य के समूह सम्मिलित नहीं हैं लेकिन मनमाने ढंग से छोटे होते हैं।

माप के साथ वास्तविक रेखा के लिए कोई भी शर्त नहीं है जबकि दोनों स्थितियाँ किसी परिमित समूह पर गिनती माप के लिए हैं दोनों ही जगहों में व्याख्या निरंतर है जिसमें पहचान चालक एक सीमित रैखिक मानचित्र है $L^{q}$ को $L^{p}$ पहले जगहों में और $L^{p}$ को $L^{q}$ क्षण में यह बंद ग्राफ प्रमेय और गुणों का परिणाम है तथा $L^{p}$ रिक्त स्थान अगर डोमेन $S$ परिमित माप है

$$\ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}$$

तब

$$\ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.$$

उपरोक्त असमानता में दिखाई देने वाला निरंतर इष्टतम है इस अर्थ में कि पहचान का मानदंड $I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )$ ठीक है

$$\|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}$$

समानता ठीक उसी समय प्राप्त किया जा रहा है $f=1$ $\mu$

सघन उपस्थान

इस पूरे खंड में हम यह मानते हैं $1\leq p<\infty .$एक माप स्थान बनें एक पूर्णांक सरल कार्य $f$ पर $S$ एक रूप है जो इस प्रकार है

$$f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}$$

जब $a_{j}$ अदिश हैं $A_{j}\in \Sigma$ परिमित उपाय है और ${\mathbf {1} }_{A_{j}}$ समूह का सूचक कार्य है $A_{j},$के लिए $j=1,\dots ,n.$ एकीकरण के निर्माण से समाकलनीय सरल फलनों का सदिश स्थान सघन होता है $L^p(S,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$