एलपी स्पेस

For the sequence space ℓ^p, see Sequence space § ℓp spaces.

गणित में एलपी स्पेस समारोह का विशेष स्थान हैं जिन्हें सामान्य गत पी साधरणतया प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित गया है पी परिमित आयामी सदिश के लिए मानदंड है उन्हें कभी-कभी लेबेस्गु स्पेस भी कहा जाता है जिसका नाम हेनरी लेबेस्ग्यू के नाम पर रखा गया है जबकि निकोलस बोरबाकी समूह के बोर बाकी 1927वें सबसे पहले फ्राइजेस रेज्जि द्वारा पेश किए गए। ([[#CITEREF|]]).

{{{1}}}एलपी रिक्त स्थान कार्यात्मक विश्लेषण और सदिश  स्थान में रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं जो माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में समस्याओं की सैद्धांतिक चर्चा में भी लेबेस्गु द्वारा रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है।

अनुप्रयोग

सांख्यिकी

आँकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति की माप और सांख्यिकीय फैलाव और मानक विचलन को किस संदर्भ में परिभाषित किया जाता है एलपी फलन और केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों को केंद्रीय प्रवृत्ति तथा संख्याओं की सारिणी को परिवर्तनशील समस्याओं के समाधान के रूप में चित्रित किया जा सकता है।

दंडित प्रतिगमन में एल 1 जुर्माना और एल 2 जुर्माना गाड़ी के अगले भाग में ज्यामिति को दंडित करने का संदर्भ देता है ।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान

See also: Square-integrable function

प्रमात्रा यांत्रिकी को लेकर स्टोचैस्टिक कैलकुलस तक हिल्बर्ट अंतरिक्ष कई अनुप्रयोगों के लिए केंद्रीय हैं। रिक्त स्थान $L^{2}$ और $\ell ^{2}$ दोनों हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं। वास्तव में, हिल्बर्ट आधार चुनकर $E,$ यानी, एक अधिकतम ऑर्थोनॉर्मल सबसेट $L^{2}$ या कोई हिल्बर्ट स्पेस, कोई देखता है कि हर हिल्बर्ट स्पेस आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है $\ell ^{2}(E)$ (वही $E$ ऊपर के रूप में), यानी, हिल्बर्ट प्रकार का स्थान $\ell ^{2}.$

p}-परिमित आयामों में मानदंड

यूनिट सर्कल के उदाहरण (superellipse भी देखें) में $\mathbb {R} ^{2}$ भिन्न पर आधारित है $p$-नॉर्म्स (मूल से यूनिट सर्कल तक प्रत्येक वेक्टर की लंबाई एक होती है, लंबाई की गणना इसी के लंबाई-सूत्र के साथ की जाती है $p$).

एक वेक्टर की लंबाई $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ में $n$-आयामी वास्तविक संख्या वेक्टर अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{n}$ आमतौर पर यूक्लिडियन मानदंड द्वारा दिया जाता है:

$$\|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.$$

दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी $x$ और $y$ लंबाई है $\|x-y\|_{2}$ दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा का। कई स्थितियों में, किसी दिए गए स्थान में वास्तविक दूरी को पकड़ने के लिए यूक्लिडियन दूरी अपर्याप्त है। इसका एक सादृश्य टैक्सी ड्राइवरों द्वारा एक ग्रिड स्ट्रीट योजना में सुझाया गया है, जिन्हें दूरी को अपने गंतव्य तक सीधी रेखा की लंबाई के संदर्भ में नहीं, बल्कि टैक्सीकैब ज्यामिति के संदर्भ में मापना चाहिए, जो इस बात को ध्यान में रखता है कि सड़कें या तो ऑर्थोगोनल हैं या एक दूसरे के समानांतर। का वर्ग $p$-मानदंड इन दो उदाहरणों का सामान्यीकरण करते हैं और गणित, भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान के कई हिस्सों में इसके अनुप्रयोगों की बहुतायत है।

परिभाषा

वास्तविक संख्या के लिए $p\geq 1,$ $p$-मानक या$L^{p}$-मानक $x$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.$$

निरपेक्ष मान बार तब गिराए जा सकते हैं जब $p$ एक परिमेय संख्या है जिसका एक सम अंश इसके घटे हुए रूप में है, और $x$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय या उसके किसी एक उपसमुच्चय से निकाला जाता है।

ऊपर से यूक्लिडियन मानदंड इस वर्ग में आता है और यह है $2$-मानदंड, और $1$-नॉर्म वह मानदंड है जो टैक्सीकैब ज्योमेट्री से मेल खाता है।

$L^{\infty }$-norm या Chebyshev दूरी (या एकसमान मानदंड) की सीमा है $L^{p}$-मानदंड के लिए $p\to \infty .$ यह पता चला है कि यह सीमा निम्नलिखित परिभाषा के बराबर है:

$$\|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}$$

एल-इन्फिनिटी देखें|L-अनंतता।

सभी के लिए $p\geq 1,$ $p$ऊपर परिभाषित मानदंड और अधिकतम मानदंड वास्तव में लंबाई फ़ंक्शन (या मानदंड (गणित)) के गुणों को संतुष्ट करते हैं, जो कि हैं:

• केवल शून्य वेक्टर की लंबाई शून्य होती है,
• सदिश की लंबाई एक अदिश (यूलर के सजातीय कार्य प्रमेय) द्वारा गुणन के संबंध में सकारात्मक सजातीय है, और
• दो सदिशों के योग की लंबाई सदिशों की लंबाई के योग (त्रिकोण असमानता) से बड़ी नहीं है।

संक्षेप में, इसका मतलब यह है कि $\mathbb {R} ^{n}$ इसके साथ $p$-नॉर्म एक नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस है। इसके अलावा, यह पता चला है कि यह स्थान पूर्ण है, इस प्रकार यह एक बनच स्थान बना रहा है। यह बनच स्थान है $L^{p}$-अंतरिक्ष खत्म $\{1,2,\ldots ,n\}.$

== के बीच संबंध p-मानदंड

दो बिंदुओं के बीच की ग्रिड दूरी या सीधीरेखीय दूरी (कभी-कभी मैनहटन दूरी कहलाती है) उनके बीच के रेखाखंड की लंबाई से कम नहीं होती (यूक्लिडियन या कौवा मक्खियों की दूरी के रूप में)। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि किसी भी सदिश का यूक्लिडियन मानदंड उसके 1-मानदंड से घिरा है:

$${\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{}$$