कॉमा श्रेणी

गणित में, एक अल्पविराम श्रेणी (एक विशेष मामला एक स्लाइस श्रेणी है) श्रेणी सिद्धांत में एक निर्माण है। यह morphisms को देखने का एक और तरीका प्रदान करता है: केवल एक वर्ग (गणित) की वस्तुओं को एक दूसरे से संबंधित करने के बजाय, morphisms अपने आप में वस्तु बन जाते हैं। यह धारणा 1963 में विलियम लॉवरे|एफ द्वारा पेश की गई थी। W. Lawvere (लॉवरे, 1963 पृष्ठ 36), हालांकि तकनीक ने ऐसा नहीं किया आम तौर पर कई सालों बाद तक जाना जाता है। कई गणितीय अवधारणाओं को अल्पविराम श्रेणियों के रूप में माना जा सकता है। अल्पविराम श्रेणियां कुछ सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और कोलिमिट के अस्तित्व की गारंटी भी देती हैं। नाम मूल रूप से लॉवरे द्वारा उपयोग किए जाने वाले नोटेशन से आता है, जिसमें अल्पविराम विराम चिह्न शामिल था। भले ही मानक अंकन बदल गया हो, नाम बना रहता है, क्योंकि एक ऑपरेटर के रूप में अल्पविराम का उपयोग संभावित रूप से भ्रमित करने वाला होता है, और यहां तक ​​कि लॉवरे भी गैर-सूचनात्मक शब्द अल्पविराम श्रेणी को नापसंद करते हैं (लॉवरे, 1963 पृष्ठ 13)।

परिभाषा

सबसे सामान्य अल्पविराम श्रेणी के निर्माण में एक ही कोडोमेन वाले दो ऑपरेटर शामिल होते हैं। अक्सर इनमें से एक में डोमेन 1 (एक-ऑब्जेक्ट वन-मॉर्फिज़्म श्रेणी) होगा। श्रेणी सिद्धांत के कुछ खाते केवल इन विशेष मामलों पर विचार करते हैं, लेकिन अल्पविराम श्रेणी शब्द वास्तव में बहुत अधिक सामान्य है।

सामान्य रूप

लगता है कि ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {B}}$, और ${\mathcal {C}}$ श्रेणियां हैं, और $S$ और $T$ (स्रोत और लक्ष्य के लिए) कारक हैं: <डिव वर्ग = केंद्र> ${\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;S\;\;} {\mathcal {C}}\xleftarrow {\;\;T\;\;} {\mathcal {B}}$

हम अल्पविराम श्रेणी बना सकते हैं $(S\downarrow T)$ निम्नलिखित नुसार:

• वस्तुएँ सब त्रिगुणमय हैं $(A,B,h)$ साथ $A$ एक वस्तु में ${\mathcal {A}}$, $B$ एक वस्तु में ${\mathcal {B}}$, और $h:S(A)\rightarrow T(B)$ में एक रूपवाद ${\mathcal {C}}$.
• से morphisms $(A,B,h)$ को $(A',B',h')$ सभी जोड़े हैं $(f,g)$ कहाँ $f:A\rightarrow A'$ और $g:B\rightarrow B'$ में आकारिकी हैं ${\mathcal {A}}$ और ${\mathcal {B}}$ क्रमशः, जैसे कि निम्न आरेख क्रमविनिमेय आरेख:

लेने से रूप की रचना होती है $(f',g')\circ (f,g)$ होना $(f'\circ f,g'\circ g)$, जब भी बाद वाला व्यंजक परिभाषित किया जाता है। किसी वस्तु पर पहचान रूपवाद $(A,B,h)$ है $(\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})$.

स्लाइस श्रेणी

Main article: Overcategory

पहला विशेष मामला तब होता है जब ${\mathcal {C}}={\mathcal {A}}$, काम करनेवाला $S$ पहचान कारक है, और ${\mathcal {B}}={\textbf {1}}$ (एक वस्तु के साथ श्रेणी $*$ और एक रूपवाद)। तब $T(*)=A_{*}$ किसी वस्तु के लिए $A_{*}$ में ${\mathcal {A}}$. <डिव वर्ग = केंद्र> ${\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {A}}\;\;} {\mathcal {A}}\xleftarrow {\;\;A_{*}\;\;} {\textbf {1}}$

इस स्थिति में अल्पविराम श्रेणी लिखी जाती है $({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})$, और इसे अक्सर स्लाइस श्रेणी ओवर कहा जाता है $A_{*}$ या वस्तुओं की श्रेणी खत्म $A_{*}$. वस्तुएं $(A,*,h)$ जोड़े के लिए सरलीकृत किया जा सकता है $(A,h)$, कहाँ $h:A\rightarrow A_{*}$. कभी-कभी, $h$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\pi _{A}$. एक रूपवाद $(f,\mathrm {id} _{*})$ से $(A,\pi _{A})$ को $(A',\pi _{A'})$ स्लाइस श्रेणी में तब एक तीर के लिए सरलीकृत किया जा सकता है $f:A\rightarrow A'$ निम्नलिखित आरेख बनाना:

कॉस्लाइस श्रेणी

Main article: Overcategory

स्लाइस श्रेणी के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) अवधारणा एक कोस्लाइस श्रेणी है। यहाँ, ${\mathcal {C}}={\mathcal {B}}$, $S$ डोमेन है ${\textbf {1}}$ और $T$ एक पहचान कारक है। <डिव वर्ग = केंद्र> ${\textbf {1}}\xrightarrow {\;\;B_{*}\;\;} {\mathcal {B}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {B}}\;\;} {\mathcal {B}}$

ऐसे में अक्सर कॉमा कैटेगरी लिखी जाती है $(B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})$, कहाँ $B_{*}=S(*)$ की वस्तु है ${\mathcal {B}}$ द्वारा चयनित $S$. के संबंध में इसे कोस्लाइस श्रेणी कहते हैं $B_{*}$, या वस्तुओं की श्रेणी के अंतर्गत $B_{*}$. वस्तुएं जोड़े हैं $(B,\iota _{B})$ साथ $\iota _{B}:B_{*}\rightarrow B$. दिया गया $(B,\iota _{B})$ और $(B',\iota _{B'})$, ब्रह्मांडीय श्रेणी में आकारिकी एक नक्शा है $g:B\rightarrow B'$ निम्नलिखित आरेख बनाना:

तीर श्रेणी

$S$ और $T$ पहचान कारक चालू हैं ${\mathcal {C}}$ (इसलिए ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$). <डिव वर्ग = केंद्र> ${\mathcal {C}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}$

इस स्थिति में, अल्पविराम श्रेणी तीर श्रेणी है ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$. इसकी वस्तुएं morphisms हैं ${\mathcal {C}}$, और इसके morphisms वर्ग में आ रहे हैं ${\mathcal {C}}$.

अन्य विविधताएं

स्लाइस या कोस्लिस श्रेणी के मामले में, आइडेंटिटी फ़ैक्टर को किसी अन्य फ़ैक्टर से बदला जा सकता है; यह विशेष रूप से आसन्न फ़ैक्टरों के अध्ययन में उपयोगी श्रेणियों का एक परिवार पैदा करता है। उदाहरण के लिए, यदि $T$ एक एबेलियन समूह को उसकी बीजगणितीय संरचना में मैप करने वाला भुलक्कड़ फ़ंक्टर है, और $s$ कुछ निश्चित सेट (गणित) है (1 से एक फ़ैक्टर के रूप में माना जाता है), फिर अल्पविराम श्रेणी $(s\downarrow T)$ ऐसी वस्तुएं हैं जो मानचित्र हैं $s$ एक समूह के नीचे एक सेट के लिए। यह के बाएं आसन्न से संबंधित है $T$, जो कि फ़ंक्टर है जो उस सेट को अपने आधार के रूप में मुक्त एबेलियन समूह के लिए मैप करता है। विशेष रूप से, की प्रारंभिक वस्तु $(s\downarrow T)$ विहित इंजेक्शन है $s\rightarrow T(G)$, कहाँ $G$ द्वारा उत्पन्न मुक्त समूह है $s$.

की एक वस्तु $(s\downarrow T)$ से मोर्फिज्म कहा जाता है $s$ को $T$या ए$T$डोमेन के साथ संरचित तीर $s$.की एक वस्तु $(S\downarrow t)$ से मोर्फिज्म कहा जाता है $S$ को $t$या ए$S$कोडोमेन के साथ -संरचित तीर $t$.

एक और विशेष मामला तब होता है जब दोनों $S$ और $T$ डोमेन वाले फंक्‍टर हैं ${\textbf {1}}$. अगर $S(*)=A$ और $T(*)=B$, फिर अल्पविराम श्रेणी $(S\downarrow T)$, लिखा हुआ $(A\downarrow B)$, असतत श्रेणी है जिसकी वस्तुएँ आकारिकी हैं $A$ को $B$.

एक सम्मिलनकर्ता श्रेणी अल्पविराम श्रेणी की एक (गैर-पूर्ण) उपश्रेणी है जहाँ ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$ और $f=g$ ज़रूरत है। कॉमा श्रेणी को इन्सटर के रूप में भी देखा जा सकता है $S\circ \pi _{1}$ और $T\circ \pi _{2}$, कहाँ $\pi _{1}$ और $\pi _{2}$ उत्पाद श्रेणी से बाहर दो प्रक्षेपण कारक हैं ${\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}$.

गुण

प्रत्येक अल्पविराम श्रेणी के लिए इसमें भुलक्कड़ कारक होते हैं।

• डोमेन फ़ैक्टर, $S\downarrow T\to {\mathcal {A}}$, जो मैप करता है:
  • वस्तुएं: $(A,B,h)\mapsto A$;
  • आकारिकी: $(f,g)\mapsto f$;
• कोडोमेन फ़ंक्शन, $S\downarrow T\to {\mathcal {B}}$, जो मैप करता है:
  • वस्तुएं: $(A,B,h)\mapsto B$;
  • आकारिकी: $(f,g)\mapsto g$.
• तीर फ़ैक्टर, $S\downarrow T\to {\mathcal {C}}^{\rightarrow }$, जो मैप करता है:
  • वस्तुएं: $(A,B,h)\mapsto h$;
  • आकारिकी: $(f,g)\mapsto (Sf,Tg)$;

उपयोग के उदाहरण

कुछ उल्लेखनीय श्रेणियां

अल्पविराम श्रेणियों के संदर्भ में कई दिलचस्प श्रेणियों की स्वाभाविक परिभाषा है।

• नुकीले सेटों की श्रेणी अल्पविराम श्रेणी है, $\scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )}$ साथ $\scriptstyle {\bullet }$ किसी भी सिंगलटन सेट का चयन करना (फंक्टर का चयन करना), और $\scriptstyle {\mathbf {Set} }$ (पहचान कारक) सेट की श्रेणी। इस श्रेणी का प्रत्येक ऑब्जेक्ट सेट के कुछ तत्व का चयन करने वाले फ़ंक्शन के साथ एक सेट है: बेसपॉइंट। मोर्फिज्म सेट पर कार्य होते हैं जो बेसपॉइंट्स को बेसपॉइंट्स को मैप करते हैं। इसी प्रकार कोई नुकीले स्थानों की श्रेणी बना सकता है $\scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Top} )}$.
• रिंग के ऊपर साहचर्य बीजगणित की श्रेणी $R$ कॉसलिस श्रेणी है $\scriptstyle {(R\downarrow \mathbf {Ring} )}$, किसी भी अंगूठी समरूपता के बाद से $f:R\to S$ सहयोगी को प्रेरित करता है $R$-बीजगणित संरचना पर $S$, और इसके विपरीत। मोर्फिज़्म तो नक्शे हैं $h:S\to T$ जो आरेख यात्रा करते हैं।
• ग्राफ (असतत गणित) की श्रेणी है $\scriptstyle {(\mathbf {Set} \downarrow D)}$, साथ $\scriptstyle {D:\,\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set} }$ कार्यकर्ता एक सेट ले रहा है $s$ को $s\times s$. वस्तुएं $(a,b,f)$ फिर दो सेट और एक फ़ंक्शन से मिलकर बनता है; $a$ एक अनुक्रमण सेट है, $b$ नोड्स का एक सेट है, और $f:a\rightarrow (b\times b)$ के तत्वों के जोड़े चुनता है $b$ से प्रत्येक इनपुट के लिए $a$. वह है, $f$ सेट से कुछ किनारों को चुनता है $b\times b$ संभावित किनारों की। इस श्रेणी में एक रूपवाद दो कार्यों से बना है, एक अनुक्रमण सेट पर और एक नोड सेट पर। उन्हें उपरोक्त सामान्य परिभाषा के अनुसार सहमत होना चाहिए, जिसका अर्थ है $(g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')$ संतुष्ट करना चाहिए $f'\circ g=D(h)\circ f$. दूसरे शब्दों में, इंडेक्सिंग सेट के एक निश्चित तत्व के अनुरूप किनारे, अनुवादित होने पर, अनुवादित इंडेक्स के किनारे के समान होना चाहिए।
• अल्पविराम श्रेणियों के संदर्भ में कई वृद्धि या लेबलिंग संचालन व्यक्त किए जा सकते हैं। होने देना $S$ प्रत्येक ग्राफ को उसके किनारों के सेट तक ले जाने वाला फ़ंक्टर बनें, और दें $A$ हो (एक functor चयन) कुछ विशेष सेट: फिर $(S\downarrow A)$ ग्राफ़ की श्रेणी है जिसके किनारों को के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है $A$. अल्पविराम श्रेणी के इस रूप को अक्सर ऑब्जेक्ट कहा जाता है $S$-ऊपर $A$- ऊपर की वस्तुओं से निकटता से संबंधित $A$ऊपर चर्चा की। यहाँ, प्रत्येक वस्तु रूप लेती है $(B,\pi _{B})$, कहाँ $B$ एक ग्राफ है और $\pi _{B}$ के किनारों से एक समारोह $B$ को $A$. ग्राफ़ के नोड्स को अनिवार्य रूप से उसी तरह लेबल किया जा सकता है।
• एक श्रेणी को स्थानीय रूप से कार्तीय बंद कहा जाता है यदि इसका प्रत्येक टुकड़ा कार्तीय बंद है (स्लाइस की धारणा के लिए ऊपर देखें)। स्थानीय रूप से कार्तीय बंद श्रेणियां निर्भर प्रकार के सिद्धांत की वर्गीकरण श्रेणी हैं।

सीमाएं और सार्वभौम आकारिकी

अल्पविराम श्रेणियों में सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और सीमा (श्रेणी सिद्धांत) विरासत में मिल सकती है। अगर ${\mathcal {A}}$ और ${\mathcal {B}}$ पूरी श्रेणी हैं, $T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ एक सीमा (श्रेणी सिद्धांत) # सीमा का संरक्षण है, और $S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ एक अन्य फ़ैक्टर है (आवश्यक रूप से निरंतर नहीं), फिर अल्पविराम श्रेणी $(S\downarrow T)$ उत्पादित पूर्ण है, और प्रक्षेपण कारक $(S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}$ और $(S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}$ निरंतर हैं। इसी प्रकार यदि ${\mathcal {A}}$ और ${\mathcal {B}}$ अपूर्ण हैं, और $S:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ सीमा है (श्रेणी सिद्धांत) # सीमा का संरक्षण, फिर $(S\downarrow T)$ सह-पूर्ण है, और प्रक्षेपण फ़ैक्टर सह-सतत हैं।

उदाहरण के लिए, ध्यान दें कि अल्पविराम श्रेणी के रूप में रेखांकन की श्रेणी के उपरोक्त निर्माण में, सेट की श्रेणी पूर्ण और सह-पूर्ण है, और पहचान फ़ैक्टर निरंतर और निरंतर है। इस प्रकार, रेखांकन की श्रेणी पूर्ण और पूर्ण है।

एक विशेष कोलिमिट या एक सीमा से एक सार्वभौमिक संपत्ति की धारणा को अल्पविराम श्रेणी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अनिवार्य रूप से, हम एक श्रेणी बनाते हैं जिसकी वस्तुएँ शंकु हैं, और जहाँ सीमित शंकु एक अंतिम वस्तु है; फिर, सीमा के लिए प्रत्येक सार्वभौमिक रूपवाद टर्मिनल वस्तु के लिए सिर्फ आकारिकी है। यह दोहरे मामले में काम करता है, जिसमें प्रारंभिक वस्तु वाले कोकोन की एक श्रेणी होती है। उदाहरण के लिए, चलो ${\mathcal {C}}$ के साथ एक श्रेणी हो $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ प्रत्येक वस्तु को लेने वाला $c$ को $(c,c)$ और प्रत्येक तीर $f$ को $(f,f)$. से एक सार्वभौमिक रूपवाद $(a,b)$ को $F$ किसी वस्तु की परिभाषा के अनुसार होता है $(c,c)$ और आकृतिवाद $\rho :(a,b)\rightarrow (c,c)$ सार्वभौमिक संपत्ति के साथ कि किसी भी रूपवाद के लिए $\rho ':(a,b)\rightarrow (d,d)$ एक अद्वितीय morphism है $\sigma :c\rightarrow d$ साथ $F(\sigma )\circ \rho =\rho '$. दूसरे शब्दों में, यह अल्पविराम श्रेणी में एक वस्तु है $((a,b)\downarrow F)$ उस श्रेणी में किसी अन्य वस्तु के लिए आकारिकी होना; यह प्रारंभिक है। यह उत्पाद को परिभाषित करने में कार्य करता है ${\mathcal {C}}$, जब यह मौजूद है।

संयोजन

लॉवरे ने दिखाया कि कार्यकर्ता $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ और $G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ यदि और केवल अल्पविराम श्रेणियां हैं, तो सहायक फ़ैक्टर हैं $(F\downarrow id_{\mathcal {D}})$ और $(id_{\mathcal {C}}\downarrow G)$, साथ $id_{\mathcal {D}}$ और $id_{\mathcal {C}}$ पहचान कारक चालू हैं ${\mathcal {D}}$ और ${\mathcal {C}}$ क्रमशः, आइसोमोर्फिक हैं, और अल्पविराम श्रेणी में समकक्ष तत्वों को उसी तत्व पर प्रक्षेपित किया जा सकता है ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$. यह सेट को शामिल किए बिना संयोजनों को वर्णित करने की अनुमति देता है, और वास्तव में अल्पविराम श्रेणियों को शुरू करने के लिए मूल प्रेरणा थी।

प्राकृतिक परिवर्तन

यदि के डोमेन $S,T$ बराबर हैं, फिर आरेख जो morphisms को परिभाषित करता है $S\downarrow T$ साथ $A=B,A'=B',f=g$ आरेख के समान है जो एक प्राकृतिक परिवर्तन को परिभाषित करता है $S\to T$. दो धारणाओं के बीच का अंतर यह है कि एक प्राकृतिक परिवर्तन रूप के प्रकार के आकारिकी का एक विशेष संग्रह है $S(A)\to T(A)$, जबकि अल्पविराम श्रेणी की वस्तुओं में इस तरह के रूप के सभी आकारिकी शामिल हैं। अल्पविराम श्रेणी के लिए एक फ़ंक्टर आकारिकी के उस विशेष संग्रह का चयन करता है। यह संक्षेप में एसए हक द्वारा एक अवलोकन द्वारा वर्णित है कि एक प्राकृतिक परिवर्तन $\eta :S\to T$, साथ $S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}$, एक functor से मेल खाता है ${\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)$ जो प्रत्येक वस्तु को मैप करता है $A$ को $(A,A,\eta _{A})$ और प्रत्येक morphism को मानचित्रित करता है $f=g$ को $(f,g)$. यह प्राकृतिक परिवर्तनों के बीच एक आक्षेप पत्राचार है $S\to T$ और कारक ${\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)$ जो दोनों भुलक्कड़ कारकों के खंड (श्रेणी सिद्धांत) हैं $S\downarrow T$.

संदर्भ

• Comma category at the nLab
• Lawvere, W (1963). "Functorial semantics of algebraic theories" and "Some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic theories". http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

बाहरी संबंध

• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
• Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.