फेरी अनुक्रम

[[Image:Farey diagram horizontal arc 9.svg|thumb|300px|लिंक =|F के लिए फेरी आरेख₉ represented with circular arcs. In एसवीजी छवि, इसे और इसकी शर्तों को हाइलाइट करने के लिए वक्र पर होवर करें।

एफ के लिए फेरी आरेख₉.

File:Farey sequence denominators 9.svg

फेरी अनुक्रम, एफ के हरों द्वारा बनाया गया सममित पैटर्न₉.

फेरी अनुक्रम, एफ के हरों द्वारा बनाया गया सममित पैटर्न₂₅.

गणित में, ऑर्डर 'एन' का फेरी अनुक्रम पूरी तरह से कम किए गए अंशों का अनुक्रम है, या तो 0 और 1 के बीच, या इस प्रतिबंध के बिना, जो सबसे कम शब्दों में n से कम या उसके बराबर है, बढ़ते आकार के क्रम में व्यवस्थित किया गया है।

प्रतिबंधित परिभाषा के साथ, प्रत्येक फेरी अनुक्रम मान 0 से शुरू होता है, जिसे अंश द्वारा दर्शाया जाता है 0/1, और मान 1 के साथ समाप्त होता है, जिसे भिन्न द्वारा दर्शाया जाता है 1/1 (हालाँकि कुछ लेखक इन शर्तों को छोड़ देते हैं)।

एक फ़ारे अनुक्रम को कभी-कभी फ़ारे श्रृंखला (गणित) कहा जाता है, जो पूरी तरह से सही नहीं है, क्योंकि शब्दों का योग नहीं किया जाता है।

उदाहरण

आदेश 1 से 8 के फेरी क्रम हैं:

एफ₁ = { 0/1_, 1/1 }

एफ₂ = { 0/1_, 1/2_, 1/1 }

एफ₃ = { 0/1_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 1/1 }

एफ₄ = { 0/1_, 1/4_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 3/4_, 1/1 }

एफ₅ = { 0/1_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 1/1 }

एफ₆ = { 0/1_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 1/1 }

एफ₇ = { 0/1_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 1/1 }

एफ₈ = { 0/1_, 1/8_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 3/8_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 5/8_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 7/8_, 1/1 }

Centered
F1 = { 0/1, 1/1 }
F2 = { 0/1, 1/2, 1/1 }
F3 = { 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1 }
F4 = { 0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1 }
F5 = { 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1 }
F6 = { 0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1 }
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }
F8 = { 0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1 }

Sorted

F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1} F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

सूरज की उंगली

File:Sunburst 8.png

प्लॉटिंग एफ₆ अंश और भाजक

File:Farey sunbursts 1-10.svg

पुनरावृत्तियों के स्टारबर्स्ट 1-10 अध्यारोपित

फारे अनुक्रम के अंशों बनाम हरों को प्लॉट करने से दाईं ओर एक जैसा आकार मिलता है, जिसे निम्न के लिए दिखाया गया है: F₆.

इस आकार को विकर्ण और मुख्य अक्षों के चारों ओर प्रतिबिंबित करने से नीचे दिखाए गए फेरी सनबर्स्ट उत्पन्न होते हैं। फरे सनबर्स्ट ऑफ ऑर्डर n साइड 2 के वर्ग में मूल से दृश्यमान पूर्णांक ग्रिड बिंदुओं को जोड़ता हैn, मूल पर केंद्रित है। पिक के प्रमेय का उपयोग करते हुए, सनबर्स्ट का क्षेत्रफल 4(|F_n|−1), जहां |F_n| #अनुक्रम_लंबाई_और_अनुक्रमणिका_का_अंश|में भिन्नों की संख्या है F_n. [[File:Farey_sunburst_6.svg|thumb|center|300px|ऑर्डर 6 का फरी सनबर्स्ट, 1 आंतरिक (लाल) और 96 सीमा (हरा) बिंदुओं के साथ एक क्षेत्र देता है 1 + 96/2 − 1 = 48, पिक के प्रमेय के अनुसार]]

इतिहास

'फेरी श्रृंखला' का इतिहास बहुत ही रोचक है - हार्डी एंड राइट (1979)

... एक बार फिर वह व्यक्ति जिसका नाम गणितीय संबंध को दिया गया था, जहाँ तक अभिलेखों की बात है, वह मूल खोजकर्ता नहीं था। - बीलर (1964)

फ़ारे अनुक्रमों का नाम यूनाइटेड किंगडम के भूविज्ञानी जॉन फ़ारे, सीनियर के नाम पर रखा गया है, जिनके इन अनुक्रमों के बारे में पत्र 1816 में दार्शनिक पत्रिका में प्रकाशित हुआ था। फ़ारे ने अनुमान लगाया, बिना सबूत पेश किए, कि फ़ारे अनुक्रम विस्तार में प्रत्येक नया शब्द औसत (गणित) है ) इसके पड़ोसियों के। फेरी का पत्र कॉची द्वारा पढ़ा गया था, जिन्होंने अपने एक्सर्सिसिस डे मैथेमेटिक में एक प्रमाण प्रदान किया था, और इस परिणाम का श्रेय फेरी को दिया। वास्तव में, एक अन्य गणितज्ञ, चार्ल्स हारोस ने 1802 में इसी तरह के परिणाम प्रकाशित किए थे, जो न तो फेरी और न ही कॉची को ज्ञात थे।इस प्रकार यह एक ऐतिहासिक दुर्घटना थी जिसने फेरी के नाम को इन अनुक्रमों के साथ जोड़ा। यह स्टिगलर के नामकरण के नियम का एक उदाहरण है।

गुण

एक अंश की अनुक्रम लंबाई और सूचकांक

ऑर्डर एन के फेरी अनुक्रम में निचले क्रम के फेरी अनुक्रमों के सभी सदस्य शामिल हैं। विशेष रूप से एफ_nF के सभी सदस्य शामिल हैं_n−1 और प्रत्येक संख्या के लिए एक अतिरिक्त अंश भी शामिल है जो n से कम है और n के लिए सहअभाज्य है। इस प्रकार एफ₆ F से मिलकर बनता है₅ अंशों के साथ 1/6 और 5/6.

फेरी अनुक्रम एफ की मध्य अवधि_n हमेशा से रहा है 1/2, n > 1 के लिए। इससे हम F की लंबाइयों को संबंधित कर सकते हैं_nऔर एफ_n−1 यूलर के कुल कार्य का उपयोग करना $\varphi (n)$ :

$|F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n).$

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि |एफ₁| = 2, हम F की लंबाई के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कर सकते हैं_n:

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\Phi (n),$

कहाँ $\Phi (n)$ टोटिएंट सारांश कार्य है।

हमारे पास भी है :

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$|F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\tfrac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right),$

और मोबियस उलटा सूत्र द्वारा:

$|F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\lfloor n/d\rfloor }|,$

जहाँ µ(d) संख्या-सैद्धांतिक मोबियस फलन है, और $\lfloor {\tfrac {n}{d}}\rfloor$ तल और छत कार्य है।

एफ का स्पर्शोन्मुख व्यवहार_n| है :

$|F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}.$

अनुक्रमणिका $I_{n}(a_{k,n})=k$ एक अंश का $a_{k,n}$ फेरी क्रम में $F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$ बस यही स्थिति है $a_{k,n}$ क्रम में रखता है। यह विशेष प्रासंगिकता का है क्योंकि इसका उपयोग रीमैन परिकल्पना के वैकल्पिक सूत्रीकरण में किया जाता है, #Riemann परिकल्पना देखें। विभिन्न उपयोगी गुणों का पालन करें:

$I_{n}(0/1)=0,$

$I_{n}(1/n)=1,$

$I_{n}(1/2)=(|F_{n}|-1)/2,$

$I_{n}(1/1)=|F_{n}|-1,$

$I_{n}(h/k)=|F_{n}|-1-I_{n}((k-h)/k).$

का सूचकांक $1/k$ कहाँ $n/(i+1)<k\leq n/i$ और $n$ पहले का लघुत्तम समापवर्त्य है $i$ नंबर, $n={\rm {lcm}}([2,i])$, द्वारा दिया गया है:

$I_{n}(1/k)=1+n\sum _{j=1}^{i}{\frac {\varphi (j)}{j}}-k\Phi (i).$

फेरी पड़ोसी

अंश जो किसी भी फेरी अनुक्रम में पड़ोसी शब्द हैं, उन्हें फेरी जोड़ी के रूप में जाना जाता है और इनमें निम्नलिखित गुण होते हैं।

अगर a/b और c/d फ़ारे क्रम में पड़ोसी हैं, साथ में a/b < c/d, फिर उनका अंतर c/d − a/b के बराबर है 1/bd. तब से

${\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}},$

यह ऐसा कहने के बराबर है

$bc-ad=1$.

इस प्रकार 1/3 और 2/5 F में पड़ोसी हैं₅, और उनका अंतर है 1/15.

इसका उलटा भी सच है। अगर

$bc-ad=1$

सकारात्मक पूर्णांक a, b, c और d के लिए a < b और c < d के साथ a/b और c/d ऑर्डर मैक्स (बी, डी) के फेरी अनुक्रम में पड़ोसी होंगे।

अगर p/q के पड़ोसी हैं a/b और c/d कुछ फेरी अनुक्रम में, के साथ

${\frac {a}{b}}<{\frac {p}{q}}<{\frac {c}{d}}$

तब p/q का माध्यिका (गणित) है a/b और c/d - दूसरे शब्दों में,

${\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}.$

यह पिछली संपत्ति से आसानी से अनुसरण करता है, क्योंकि if bp – aq = qc – pd = 1, तब bp + pd = qc + aq, p(b + d) = q(a + c), p/q = a + c/b + d.

इससे पता चलता है कि अगर a/b और c/d फेरी अनुक्रम में पड़ोसी हैं तो उनके बीच पहला शब्द जो फेरी अनुक्रम के क्रम में वृद्धि के रूप में प्रकट होता है

${\frac {a+c}{b+d}},$

जो पहले क्रम के फेरी अनुक्रम में प्रकट होता है b + d.

इस प्रकार के बीच प्रकट होने वाला पहला पद 1/3 और 2/5 है 3/8, जो एफ में दिखाई देता है₈.

F में फेरी पड़ोसी जोड़े की कुल संख्या_n2|एफ है_n| − 3.

स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री एक डेटा संरचना है जो दिखाती है कि अनुक्रम 0 (= 0/1) और 1 (= 1/1), क्रमिक मध्यस्थों को लेकर।

समतुल्य-क्षेत्र व्याख्या

फेरी परिमेय की प्रत्येक क्रमिक जोड़ी का एक समतुल्य क्षेत्रफल 1 होता है। क्रमिक परिमेय r की व्याख्या करके इसे देखें₁ = पी/क्यू और आर₂ = p'/q' x-y तल में सदिशों (p, q) के रूप में। A(p/q, p'/q') का क्षेत्रफल qp' - q'p द्वारा दिया गया है। पिछले दो क्रमागत फारे अनुक्रम अंशों के बीच किसी भी अतिरिक्त अंश की गणना माध्यिका (⊕) के रूप में की जाती है, तो A(r₁, आर₁ ⊕ आर₂) = ए (आर₁, आर₁) + ए (आर₁, आर₂) = ए (आर₁, आर₂) = 1 (आर के बाद से₁ = 1/0 और आर₂ = 0/1, इसका क्षेत्रफल 1 होना चाहिए)।

फेरे पड़ोसी और निरंतर अंश

फेरी अनुक्रम में पड़ोसियों के रूप में दिखाई देने वाले अंशों में निरंतर भिन्न विस्तार से संबंधित है। प्रत्येक भिन्न के दो निरंतर भिन्न विस्तार होते हैं - एक में अंतिम पद 1 होता है; दूसरे में अंतिम अवधि 1 से अधिक है। यदि p/q, जो पहली बार फेरी सीक्वेंस एफ में दिखाई देता है_q, अंश विस्तार जारी रखा है

[0; ए₁, ए₂, ..., ए_{n − 1}, ए_n, 1]

[0; ए₁, ए₂, ..., ए_{n − 1}, ए_n + 1]

फिर का निकटतम पड़ोसी p/q एफ में_q(जो बड़े भाजक के साथ उसका पड़ोसी होगा) का निरंतर भिन्न विस्तार है

[0; ए₁, ए₂, ..., ए_n]

और इसके दूसरे पड़ोसी का निरंतर अंश विस्तार है

[0; ए₁, ए₂, ..., ए_{n − 1}]

उदाहरण के लिए, 3/8 के दो निरंतर अंश विस्तार हैं [0; 2, 1, 1, 1] और [0; 2, 1, 2], और इसके पड़ोसी F₈ हैं 2/5, जिसे इस रूप में विस्तारित किया जा सकता है [0; 2, 1, 1]; और 1/3, जिसे इस रूप में विस्तारित किया जा सकता है [0; 2, 1].

फैरी अंश और कम से कम सामान्य एकाधिक

लघुत्तम समापवर्तक को फेरी भिन्नों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

${\text{lcm}}[1,2,...,N]=e^{\psi (N)}={\frac {1}{2}}\left(\prod _{r\in F_{N},0<r\leq 1/2}2\sin(\pi r)\right)^{2}$

कहाँ $\psi (N)$ दूसरा चेबिशेव समारोह है।

फैरी अंश और सबसे बड़ा सामान्य विभाजक

चूँकि यूलर का कुल कार्य सीधे सबसे बड़े सामान्य विभाजक से जुड़ा होता है, इसलिए F में तत्वों की संख्या होती है_n,

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\sum \limits _{m=1}^{n}\sum \limits _{k=1}^{m}\gcd(k,m)\cos {2\pi {\frac {k}{m}}}.$

किसी भी 3 फैरी अंशों के लिए a/b, c/d और e/f निरपेक्ष मूल्य में 2x2 मैट्रिक्स निर्धारक के सबसे बड़े सामान्य भाजक के बीच निम्नलिखित पहचान है:

$\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)$

अनुप्रयोग

अपरिमेय संख्याओं का परिमेय सन्निकटन ज्ञात करने के लिए फेरी क्रम बहुत उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, एलियाहौ द्वारा निर्माण Collatz conjecture#Cycles|3x+1 प्रक्रिया में गैर-तुच्छ चक्रों की लंबाई पर एक निचली सीमा संख्या लॉग के निरंतर अंश विस्तार की गणना करने के लिए Farey अनुक्रमों का उपयोग करती है₂(3)।

अनुनाद घटना के साथ भौतिक प्रणालियों में, फेरी अनुक्रम 1डी में अनुनाद स्थानों की गणना करने के लिए एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण और कुशल विधि प्रदान करते हैं और 2डी। वर्ग-कोशिका वाले ग्रिड पर किसी भी-कोण पथ योजना के अध्ययन में फ़ारे अनुक्रम प्रमुख हैं, उदाहरण के लिए उनकी कम्प्यूटेशनल जटिलता को चिह्नित करने में या इष्टतमता। कनेक्शन को आर-बाधित पथों के संदर्भ में माना जा सकता है, अर्थात् लाइन सेगमेंट से बने पथ जो प्रत्येक अधिकतम पर चलते हैं $r$ पंक्तियाँ और अधिक से अधिक $r$ कोशिकाओं के स्तंभ। होने देना $Q$ वैक्टर का सेट हो $(q,p)$ ऐसा है कि $1\leq q\leq r$, $0\leq p\leq q$, और $p$, $q$ कोप्राइम हैं। होने देना $Q*$ चिंतन का परिणाम हो $Q$ कतार में $y=x$. होने देना $S=\{(\pm x,\pm y):(x,y)\in Q\cup Q*\}$. तब किसी भी आर-बाधित पथ को सदिशों के अनुक्रम के रूप में वर्णित किया जा सकता है $S$. बीच आपत्ति है $Q$ और आदेश का फेरी क्रम $r$ द्वारा दिए गए $(q,p)$ मैपिंग करने के लिए ${\tfrac {p}{q}}$.

फोर्ड सर्किल

[[File:Comparison_Ford_circles_Farey_diagram.svg|thumb|250px|लिंक =|Comparison of Ford circles and a Farey diagram with circular arcs for n from 1 to 9. Each arc intersects its corresponding circles at right angles. In एसवीजी छवि, इसे और इसकी शर्तों को हाइलाइट करने के लिए एक वृत्त या वक्र पर होवर करें।फेरी सीक्वेंस और फोर्ड सर्कल के बीच एक संबंध है।

हर अंश के लिए p/q (सबसे कम शर्तों में) एक फोर्ड सर्कल सी है [p/q], जो त्रिज्या 1/(2q²) और केंद्र (p/q, 1/ 2q² ). अलग-अलग अंशों के लिए दो फोर्ड मंडल या तो अलग सेट हैं या वे एक दूसरे के लिए स्पर्शरेखा हैं- दो फोर्ड मंडल कभी भी एक दूसरे को नहीं काटते हैं। अगर 0 < p/q <1 तो फोर्ड मंडल जो सी के स्पर्शरेखा हैं [p/q] निश्चित रूप से भिन्नों के लिए फोर्ड सर्कल हैं जो पड़ोसी हैं p/q कुछ फेरी क्रम में।

इस प्रकार सी [2/5] C की स्पर्शरेखा है [1/2], सी[1/3], सी[3/7], सी[3/8], वगैरह।

अपोलोनियन गैसकेट (0,0,1,1) में फोर्ड सर्किल भी दिखाई देते हैं। नीचे दी गई तस्वीर इसे फेरी अनुनाद रेखाओं के साथ दर्शाती है।

File:Apolloinan gasket Farey.png

Apollonian गैसकेट (0,0,1,1) और Farey अनुनाद आरेख।

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना के दो समकक्ष योगों में फेरी अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए की शर्तें $F_{n}$ हैं $\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$. परिभाषित करना $d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n}$, दूसरे शब्दों में $d_{k,n}$ nवें फेरी क्रम के kवें पद और अंकों की समान संख्या के समुच्चय के kवें सदस्य के बीच का अंतर है, जो इकाई अंतराल पर समान रूप से वितरित है। 1924 में जेरोम फ्रनेल साबित कर दिया कि बयान

$\sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1$

रीमैन परिकल्पना और फिर एडमंड लैंडौ के बराबर है टिप्पणी की (फ्रानेल के पेपर के ठीक बाद) कि बयान

$\sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>1/2$

रीमैन परिकल्पना के समतुल्य भी है।

फेरी अंशों से जुड़े अन्य योग

ऑर्डर एन के सभी फेरी अंशों का योग तत्वों की संख्या का आधा है:

$\sum _{r\in F_{n}}r={\frac {1}{2}}|F_{n}|.$

फेरी अनुक्रम में हरों का योग अंशों के योग का दोगुना है और यूलर के पूर्ण कार्य से संबंधित है:

$\sum _{a/b\in F_{n}}b=2\sum _{a/b\in F_{n}}a=1+\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i),$

जिसे 1962 में हेरोल्ड एल. आरोन द्वारा अनुमानित किया गया था और 1966 में जीन ए. ब्लेक द्वारा प्रदर्शित किया गया था। हेरोल्ड एल. आरोन अनुमान का एक पंक्ति प्रमाण इस प्रकार है। अंशों का योग है ${\displaystyle 1+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}a=1+\sum _{2\leq b\leq n}b{\frac {\varphi (b)}{2}}}$. भाजक का योग है ${\displaystyle 2+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}b=2+\sum _{2\leq b\leq n}b\varphi (b)}$. पहले योग का दूसरे योग से भागफल है ${\frac {1}{2}}$.

चलो बी_j F के क्रमित हर हों_n, तब:

$\sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {b_{j}}{b_{j+1}}}={\frac {3|F_{n}|-4}{2}}$

और

$\sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {1}{b_{j+1}b_{j}}}=1.$

चलो ए_j/बी_j F में jवाँ फेरी अंश_n, तब

$\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}{\begin{Vmatrix}a_{j-1}&a_{j+1}\\b_{j-1}&b_{j+1}\end{Vmatrix}}=3(|F_{n}|-1)-2n-1,$

जिसमें दर्शाया गया है। साथ ही इस सन्दर्भ के अनुसार योग के अंदर के शब्द को कई अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

$a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1}={\frac {b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}}}={\frac {a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}}}=\left\lfloor {\frac {n+b_{j-1}}{b_{j}}}\right\rfloor ,$

एक ही परिणाम के साथ Farey तत्वों पर इस प्रकार कई अलग-अलग रकम प्राप्त करना। लगभग 1/2 पूर्व समरूपता का उपयोग करना योग को अनुक्रम के आधे हिस्से तक सीमित किया जा सकता है

$\sum _{j=1}^{\lfloor |F_{n}|/2\rfloor }(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=3(|F_{n}|-1)/2-n-\lceil n/2\rceil ,$

Mertens फ़ंक्शन को Farey भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}$ कहाँ ${\mathcal {F}}_{n}$ क्रम n का फेरी क्रम है।

इस सूत्र का उपयोग फेरी अनुक्रम#रीमैन परिकल्पना|फ्रानेल-लैंडौ प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है।

अगला पद

एफ की शर्तें उत्पन्न करने के लिए एक आश्चर्यजनक सरल एल्गोरिदम मौजूद है_nपारंपरिक क्रम (आरोही) या गैर-पारंपरिक क्रम (अवरोही) में। एल्गोरिथम प्रत्येक क्रमिक प्रविष्टि की गणना पिछली दो प्रविष्टियों के संदर्भ में ऊपर दी गई औसत संपत्ति का उपयोग करके करता है। अगर a/b और c/d दो दी गई प्रविष्टियाँ हैं, और p/q तब अज्ञात अगली प्रविष्टि है c/d = a + p/b + q. तब से c/d निम्नतम शब्दों में है, तो एक पूर्णांक k होना चाहिए जैसे कि kc = a + p और kd = b + q, जिससे p = kc − a और q = kd − b मिलता है। यदि हम p और q को k का फलन मानते हैं, तब

${\frac {p(k)}{q(k)}}-{\frac {c}{d}}={\frac {cb-da}{d(kd-b)}}$

तो जितना बड़ा k होगा, उतना ही करीब होगा p/q उस तक पहुँचना c/d.

अनुक्रम में अगला पद देने के लिए k जितना संभव हो उतना बड़ा होना चाहिए, kd − b ≤ n के अधीन (क्योंकि हम केवल उन संख्याओं पर विचार कर रहे हैं जिनके भाजक n से अधिक नहीं हैं), इसलिए k सबसे बड़ा पूर्णांक है ≤n + b/d. k के इस मान को वापस p और q के समीकरणों में रखने पर प्राप्त होता है

$p=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor c-a$

$q=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor d-b$

इसे पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) में निम्नानुसार कार्यान्वित किया गया है:

def farey_sequence(n: int, descending: bool = False) -> None:
    """Print the n'th Farey sequence. Allow for either ascending or descending."""
    (a, b, c, d) = (0, 1, 1, n)
    if descending:
        (a, c) = (1, n - 1)
    print("{0}/{1}".format(a, b))
    while (c <= n and not descending) or (a > 0 and descending):
        k = (n + b) // d
        (a, b, c, d) = (c, d, k * c - a, k * d - b)
        print("{0}/{1}".format(a, b))

परिमेय में डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के लिए ब्रूट-फोर्स खोज अक्सर फेरी श्रृंखला (केवल कम रूपों की खोज करने के लिए) का लाभ उठा सकती है। हालांकि यह कोड ए, बी, सी, और डी को आरंभ करने के लिए अनुक्रम के पहले दो शब्दों का उपयोग करता है, लेकिन किसी विशेष सीमा से कम (या उससे अधिक) को बाहर करने के लिए आसन्न शब्दों की किसी भी जोड़ी को स्थानापन्न कर सकता है।

यह भी देखें

• अबकाबा पैटर्न
• स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री
• यूलर का कुल कार्य

अग्रिम पठन

• Hatcher, Allen. "Topology of Numbers". Mathematics. Ithaca, NY: Cornell U.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1989). Concrete Mathematics: A foundation for computer science (2nd ed.). Boston, MA: Addison-Wesley. pp. 115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524. ISBN 0-201-55802-5. — in particular, see §4.5 (pp. 115–123), Bonus Problem 4.61 (pp. 150, 523–524), §4.9 (pp. 133–139), §9.3, Problem 9.3.6 (pp. 462–463).
• Vepstas, Linas. "The Minkowski Question Mark, GL(2,Z), and the Modular Group" (PDF). — reviews the isomorphisms of the Stern-Brocot Tree.
• Vepstas, Linas. "Symmetries of Period-Doubling Maps" (PDF). — reviews connections between Farey Fractions and Fractals.
• Cobeli, Cristian; Zaharescu, Alexandru (2003). "The Haros–Farey sequence at two hundred years. A survey". Acta Univ. Apulensis Math. Inform. (5): 1–38. "pp. 1–20" (PDF). Acta Univ. Apulensis. "pp. 21–38" (PDF). Acta Univ. Apulensis.
• Matveev, Andrey O. (2017). Farey Sequences: Duality and Maps Between Subsequences. Berlin, DE: De Gruyter. ISBN 978-3-11-054662-0. Errata + Code

बाहरी संबंध

• Bogomolny, Alexander. "Farey series". Cut-the-Knot.
• Bogomolny, Alexander. "Stern-Brocot Tree". Cut-the-Knot.
• Pennestri, Ettore. "A Brocot table of base 120".
• "Farey series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Stern-Brocot Tree". MathWorld.
• OEIS sequence A005728 (Number of fractions in Farey series of order n)
• OEIS sequence A006842 (Numerators of Farey series of order n)
• OEIS sequence A006843 (Denominators of Farey series of order n)
• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Bonahon, Francis. Funny Fractions and Ford Circles (video). Brady Haran. Retrieved 9 June 2015 – via YouTube.