सममित समष्टि

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गणित में, सममित स्थान [[स्यूडो- रीमानियन कई गुना ]] (या अधिक सामान्यतः, छद्म-रीमानियन मैनिफोल्ड) होता है, जिसके समरूपता के समूह में प्रत्येक बिंदु के बारे में उलटा समरूपता होती है। इसका अध्ययन रीमानियन ज्यामिति के उपकरणों के साथ किया जा सकता है, जिससे होलोनोमी के सिद्धांत में परिणाम सामने आते हैं, या बीजगणितीय रूप से असत्य सिद्धांत के माध्यम से, जिसने एली कार्टन को पूर्ण वर्गीकरण देने की अनुमति दी जाती हैं। सममित स्थान सामान्यतः अंतर ज्यामिति, प्रतिनिधित्व सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में होते हैं।

ज्यामितीय शब्दों में, पूर्ण, बस जुड़ा हुआ रीमानियन मैनिफोल्ड सममित स्थान है यदि और केवल यदि इसका वक्रता टेंसर समानांतर परिवहन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। अधिक सामान्यतः, रिमेंनियन मैनिफोल्ड (एम, जी) को सममित कहा जाता है यदि और केवल यदि एम के प्रत्येक बिंदु पी के लिए, आइसोमेट्री सम्मिलित है। 'एम' 'पी' को ठीक करता है और स्पर्शरेखा स्थान $T_{p}M$ पर अभिनय करता है, इस प्रकार शून्य से पहचान के रूप में (प्रत्येक सममित स्थान पूर्ण रूप से कई गुना है, क्योंकि किसी भी जियोडेसिक को समापन बिंदुओं के बारे में समरूपता के माध्यम से अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है)। दोनों विवरणों को स्वाभाविक रूप से स्यूडो-रीमानियन मैनिफोल्ड्स की सेटिंग तक बढ़ाया जा सकता है।

लाई सिद्धांत के दृष्टिकोण से, सममित स्थान लाई उपसमूह एच द्वारा जुड़े लाई समूह जी का भागफल जी/एच है जो जी के समावेशन (गणित) के अपरिवर्तनीय समूह का (एक जुड़ा हुआ घटक) है। यह परिभाषा में रिमेंनियन परिभाषा से अधिक सम्मिलित है, और एच कॉम्पैक्ट होने पर इसे कम कर देता है।

रीइमेन्नियन सममित स्थान गणित और भौतिकी दोनों में विभिन्न प्रकार की स्थितियों में उत्पन्न होते हैं। होलोनॉमी के सिद्धांत में उनकी केंद्रीय भूमिका की खोज मार्सेल बर्जर ने की थी। वे प्रतिनिधित्व सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण के साथ-साथ अंतर ज्यामिति में अध्ययन की महत्वपूर्ण वस्तुएं हैं।

ज्यामितीय परिभाषा

एम को जुड़ा हुआ रिमेंनियन मैनिफोल्ड और एम का बिंदु है। पी के समीप के भिन्नता एफ को 'जियोडेसिक समरूपता' कहा जाता है यदि यह बिंदु पी को ठीक करता है और उस बिंदु के माध्यम से भूगर्भ विज्ञान को उलट देता है, अर्ताथ यदि γ भूगर्भीय है $\gamma (0)=p$ तब $f(\gamma (t))=\gamma (-t).$ होता हैं। यह इस प्रकार है कि पी पर मानचित्र एफ का व्युत्पन्न पी के स्पर्शरेखा स्थान पर पहचान मानचित्र घटा है। सामान्य रीमानियन मैनिफोल्ड पर, f को आइसोमेट्रिक होने की आवश्यकता नहीं है, न ही इसे सामान्य रूप से, p के समीप से M के सभी तक बढ़ाया जा सकता है।

M को 'स्थानीय रूप से रिमेंनियन सममित' कहा जाता है यदि इसकी भूगणित समरूपता वास्तव में सममितीय है। यह वक्रता टेंसर के सहसंयोजक व्युत्पन्न के लुप्त होने के बराबर है। एक स्थानीय रूप से सममित स्थान को '(वैश्विक रूप से) सममित स्थान' कहा जाता है, यदि इसके अतिरिक्त इसके जियोडेसिक समरूपता को सभी एम पर आइसोमेट्री तक बढ़ाया जा सकता है।

मूल गुण

कार्टन-एम्ब्रोस-हिक्स प्रमेय का अर्थ है कि एम स्थानीय रूप से रिमेंनियन सममित है यदि और केवल यदि इसका वक्रता टेंसर सहसंयोजक व्युत्पन्न है, और इसके अतिरिक्त यह कि प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ, पूर्ण स्थान स्थानीय रूप से रीमानियन सममित स्थान वास्तव में रीमानियन सममित है।

प्रत्येक रिमेंनियन सममित स्थान M पूर्ण है और रीमानियन सजातीय स्थान (जिसका अर्थ है कि M का आइसोमेट्री समूह M पर सकर्मक रूप से कार्य करता है)। वास्तव में, आइसोमेट्री समूह का पहले से ही पहचान घटक एम पर सकर्मक रूप से कार्य करता है (क्योंकि एम जुड़ा हुआ है)।

स्थानीय रूप से रिमेंनियन सममित रिक्त स्थान जो रिमेंनियन सममित नहीं हैं, को रीमानियन सममित रिक्त स्थान के भागफल के रूप में आइसोमेट्री के असतत समूहों द्वारा बिना किसी निश्चित बिंदु के, और (स्थानीय रूप से) रीमानियन सममित रिक्त स्थान के खुले उपसमुच्चय के रूप में बनाया जा सकता है।

उदाहरण

रिमेंनियन सममित रिक्त स्थान के मूल उदाहरण यूक्लिडियन अंतरिक्ष, गोले, प्रक्षेपी स्थान और अतिपरवलयिक स्थान हैं, जिनमें से प्रत्येक अपने मानक रीमानियन मैट्रिक्स के साथ हैं। अधिक उदाहरण कॉम्पैक्ट, अर्ध-सरल लाई समूहों द्वारा प्रदान किए जाते हैं जो द्वि-अपरिवर्तनीय रिमेंनियन मीट्रिक से लैस होते हैं।

1 से अधिक जीनस की प्रत्येक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह (निरंतर वक्रता -1 की अपनी सामान्य मीट्रिक के साथ) स्थानीय रूप से सममित स्थान है, लेकिन सममित स्थान नहीं है।

प्रत्येक लेंस स्थान स्थानीय रूप से सममित है लेकिन सममित नहीं है, इसके अपवाद के साथ $L(2,1)$ जो सममित है। लेंस रिक्त स्थान असतत आइसोमेट्री द्वारा 3-गोले के भागफल हैं जिनका कोई निश्चित बिंदु नहीं है।

एक गैर-रिमेंनियन सममित स्थान का उदाहरण एंटी-डी सिटर स्पेस है।

बीजगणितीय परिभाषा

यहाँ पर बता दें कि G कनेक्टेड लाइ ग्रुप है। फिर जी के लिए 'सममित स्थान' सजातीय स्थान जी/एच है जहां विशिष्ट बिंदु का स्टेबलाइज़र एच ऑट (जी) में इनवॉल्यूशन (गणित) σ के निश्चित बिंदु सेट का खुला उपसमूह है। इस प्रकार σ σ के साथ G² = आईडी_G का ऑटोमोर्फिज्म है, और एच अपरिवर्तनीय सेट का खुला उपसमूह है

$G^{\sigma }=\{g\in G:\sigma (g)=g\}.$

क्योंकि H खुला है, यह G के घटकों का संघ है^σ (बेशक, पहचान घटक सहित)।

जी के ऑटोमोर्फिज्म के रूप में, σ पहचान तत्व को ठीक करता है, और इसलिए, पहचान में अंतर करके, यह लाई बीजगणित के ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है। ${\mathfrak {g}}$ G का, जिसे σ द्वारा भी निरूपित किया जाता है, जिसका वर्ग सर्वसमिका है। यह इस प्रकार है कि σ के eigenvalues ​​​​± 1 हैं। +1 आइगेनस्पेस लाई बीजगणित है ${\mathfrak {h}}$ एच का (चूंकि यह जी का असत्य बीजगणित है^σ), और −1 आइगेनस्पेस को दर्शाया जाएगा ${\mathfrak {m}}$. चूंकि σ का स्वाकारीकरण ${\mathfrak {g}}$ है, यह असत्य बीजगणित अपघटन का प्रत्यक्ष योग देता है

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}$

इसके साथ

$[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}},\;[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}},\;[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}.$

किसी भी सजातीय स्थान के लिए पहली स्थिति स्वचालित है: यह केवल अतिसूक्ष्म स्टेबलाइजर ${\mathfrak {h}}$ का ले सबलजेब्रा ${\mathfrak {g}}$ है, इस प्रकार इसकी दूसरी शर्त का अर्थ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {h}}$-अपरिवर्तनीय पूरक ${\mathfrak {h}}$ में ${\mathfrak {g}}$ से है, इस प्रकार कोई भी सममित स्थान रिडक्टिव सजातीय स्थान है, लेकिन कई रिडक्टिव सजातीय स्थान हैं जो सममित स्थान नहीं हैं। सममित रिक्त स्थान की मुख्य विशेषता तीसरी शर्त है कि ${\mathfrak {m}}$ कोष्ठक में ${\mathfrak {h}}$ के समान हैं।

इसके विपरीत, कोई असत्य बीजगणित दिया गया है ${\mathfrak {g}}$ इन तीन स्थितियों को संतुष्ट करने वाले प्रत्यक्ष योग अपघटन के साथ, रैखिक मानचित्र σ, पर पहचान के बराबर ${\mathfrak {h}}$ और माइनस आइडेंटिटी ऑन ${\mathfrak {m}}$, समावेशी ऑटोमोर्फिज्म है।

रिमेंनियन सममित स्थान असत्य-सैद्धांतिक विशेषता को संतुष्ट करते हैं

यदि M रिमेंनियन सममित स्थान है, तो M के आइसोमेट्री समूह का पहचान घटक G Lie समूह है जो M पर सकर्मक रूप से कार्य करता है (अर्थात, M रीइमेन्नियन सजातीय है)। इसलिए, यदि हम M के कुछ बिंदु p को ठीक करते हैं, तो M भागफल G/K के लिए भिन्न है, जहाँ K, P पर M पर G की क्रिया के समस्थानिक समूह को दर्शाता है। p पर क्रिया को अवकलित करके हम T पर K की सममितीय क्रिया प्राप्त करते हैं_pएम। यह क्रिया वफादार है (उदाहरण के लिए, कोस्टेंट के प्रमेय द्वारा, पहचान घटक में किसी भी आइसोमेट्री को इसके जेट बंडल द्वारा निर्धारित किया जाता है। किसी भी बिंदु पर 1-जेट) और इसलिए के टी के ऑर्थोगोनल समूह का उपसमूह है_pएम, इसलिए कॉम्पैक्ट। इसके अतिरिक्त, यदि हम एस द्वारा निरूपित करते हैं_p: M → M p पर M की जियोडेसिक समरूपता को मानचित्र से प्रदर्शित किया जा सकता हैं।

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}:G\to <!--\; \to \; -->G,h\mapsto <!--\; \mapsto \; -->s_{}$