शेर्क सतह

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शर्क की पहली और दूसरी सतह के एक दूसरे में बदलने का एनिमेशन: वे न्यूनतम सतहों के एक ही संयुग्मी के सदस्य हैं।

गणित में, शर्क सतह (हेनरिक शर्क के नाम पर) न्यूनतम सतह का एक उदाहरण है। शर्क ने 1834 में दो पूर्ण एम्बेडेड न्यूनतम सतहों का वर्णन किया; उसकी पहली सतह दोहरी आवधिक सतह है, उसकी दूसरी सतह एकल आवधिक है। वे न्यूनतम सतहों के तीसरे गैर-तुच्छ उदाहरण थे (पहले दो कैटेनॉइड और घुमावदार थे)। दो सतहें एक दूसरे के संयुग्मी हैं।

न्यूनतम सतह की समस्याओं को सीमित करने और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के हार्मोनिक डिफियोमोर्फिज्म के अध्ययन में स्केर्क सतहें उत्पन्न होती हैं।

जो दूसरे के लिए लंबकोणीय हैं, जो ब्रिजिंग आरशेज़ के चेकरबोर्ड पैटर्न में z = 0 के पास मिलते

शर्क की पहली सतह

शर्क की पहली सतह समानांतर विमानों के दो अनंत परिवारों के लिए स्पर्शोन्मुख है, जो एक दूसरे के लिए लंबकोणीय हैं, जो ब्रिजिंग आरशेज़ के चेकरबोर्ड स्वरूप में z = 0 के पास मिलते हैं। इसमें सीधी खड़ी रेखाओं की अनंत संख्या होती है।

एक साधारण शर्क सतह का निर्माण

File:Scherk-1 surface unit cell.stl

पहली शर्क सतह की STL (फ़ाइल स्वरूप) इकाई सेल

File:Superficie di scherk.jpg

पांच इकाई कोशिकाओं को एक साथ रखा गया

यूक्लिडियन विमान में एक वर्ग पर निम्न न्यूनतम सतह समस्या पर विचार करें: प्राकृतिक संख्या n के लिए, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में न्यूनतम सतह Σ_n खोजें |

$u_{n}:\left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\times \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}$

चूकि

$\lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n{\text{ for }}-{\frac {\pi }{2}}<x<+{\frac {\pi }{2}},$

$\lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n{\text{ for }}-{\frac {\pi }{2}}<y<+{\frac {\pi }{2}}.$

यानी यू_n न्यूनतम सतह समीकरण को संतुष्ट करता है

$\mathrm {div} \left({\frac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2}}}}\right)\equiv 0$

और

$\Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\frac {\pi }{2}}<x,y<+{\frac {\pi }{2}}\right.\right\}.$

क्या, अगर कुछ भी, सीमांत सतह है क्योंकि n अनंत की ओर जाता है? उत्तर 1834 में एच. शर्क द्वारा दिया गया था: सीमांत सतह Σ का ग्राफ है |

$u:\left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\times \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,$

$u(x,y)=\log \left({\frac {\cos(x)}{\cos(y)}}\right).$

अर्थात्, वर्ग के ऊपर शर्क सतह है |

$\Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\frac {\cos(x)}{\cos(y)}}\right)\right)\in \mathbb {R} ^{3}\right|-{\frac {\pi }{2}}<x,y<+{\frac {\pi }{2}}\right\}.$

अधिक सामान्य शर्क सतहें

यूक्लिडियन विमान में अन्य चतुर्भुजों पर समान न्यूनतम सतह की समस्याओं पर विचार किया जा सकता है। अतिशयोक्तिपूर्ण तल में चतुर्भुजों पर भी इसी समस्या पर विचार किया जा सकता है। 2006 में, हेरोल्ड रोसेनबर्ग और पास्कल कोलिन ने अतिशयोक्तिपूर्ण प्लेन (अतिशयोक्तिपूर्ण मेट्रिक के साथ यूनिट डिस्क) पर कॉम्प्लेक्स प्लेन से हार्मोनिक डिफेओमोर्फिज्म बनाने के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण स्केर्क सतहों का इस्तेमाल किया, जिससे स्कोएन-यॉ अनुमान को खारिज कर दिया।

शर्क की दूसरी सतह

File:Scherk's second surface.png

शर्क की दूसरी सतह

File:Scherk-2 surface unit cell.stlशर्क की दूसरी सतह विश्व स्तर पर दो लंबकोणीय विमानों की तरह दिखती है, जिनके चौराहे में बारी-बारी से दिशाओं में सुरंगों का क्रम होता है। क्षैतिज विमानों के साथ इसके चौराहों में बारी-बारी से हाइपरबोलस होते हैं।

इसका निहित समीकरण है:

$\sin(z)-\sinh(x)\sinh(y)=0$

इसमें वीयरस्ट्रैस-एनीपर पैरामीटराइजेशन है $f(z)={\frac {4}{1-z^{4}}}$, $g(z)=iz$ और पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है:

$x(r,\theta )=2\Re (\ln(1+re^{i\theta })-\ln(1-re^{i\theta }))=\ln \left({\frac {1+r^{2}+2r\cos \theta }{1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)$

$y(r,\theta )=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta }))=\ln \left({\frac {1+r^{2}-2r\sin \theta }{1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)$

$z(r,\theta )=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta })+\ln(1+r^{2}e^{2i\theta }))=2\tan ^{-1}\left({\frac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)$

के लिए $\theta \in [0,2\pi )$ और $r\in (0,1)$. यह सतह की एक अवधि देता है, जिसे समरूपता द्वारा जेड-दिशा में बढ़ाया जा सकता है।

समय-समय पर न्यूनतम सतहों के सैडल टॉवर परिवार में एच। करचर द्वारा सतह को सामान्यीकृत किया गया है।

कुछ भ्रामक रूप से, इस सतह को कभी-कभी साहित्य में शर्क की पांचवीं सतह कहा जाता है। भ्रम को कम करने के लिए इसे शर्क की एकल आवधिक सतह या शर्क-टॉवर के रूप में संदर्भित करना उपयोगी है।

बाहरी संबंध

• Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], "Scherk surface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• शर्क's first surface in MSRI Geometry [2]
• शर्क's second surface in MSRI Geometry [3]
• शर्क's minimal surfaces in Mathworld [4]