बहुरेखीय रूप

अमूर्त बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित में, एक सदिश स्थान पर एक बहुरेखीय रूप $V$ एक क्षेत्र पर (गणित) $K$ एक मानचित्र (गणित) है

$f\colon V^{k}\to K$

वह अलग है $K$इसके प्रत्येक में रैखिक $k$ तर्क। अधिक आम तौर पर, एक मॉड्यूल (गणित) पर एक क्रमविनिमेय अंगूठी पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। हालाँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा।

एक बहुरेखीय $k$-फॉर्म ऑन $V$ ऊपर $\mathbb {R}$ एक (सहसंयोजक) कहा जाता है ${\boldsymbol {k}}$-टेंसर, और ऐसे रूपों के वेक्टर स्थान को आमतौर पर निरूपित किया जाता है ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ या ${\mathcal {L}}^{k}(V)$.

टेंसर उत्पाद

ए दिया $k$-टेंसर $f\in {\mathcal {T}}^{k}(V)$ और एक $\ell$-टेंसर $g\in {\mathcal {T}}^{\ell }(V)$, एक उत्पाद $f\otimes g\in {\mathcal {T}}^{k+\ell }(V)$, टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$(f\otimes g)(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell })=f(v_{1},\ldots ,v_{k})g(v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell }),$

सभी के लिए $v_{1},\ldots ,v_{k+\ell }\in V$. बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; हालाँकि यह द्विरेखीय और साहचर्य है:

$f\otimes (ag_{1}+bg_{2})=a(f\otimes g_{1})+b(f\otimes g_{2})$, $(af_{1}+bf_{2})\otimes g=a(f_{1}\otimes g)+b(f_{2}\otimes g),$

और

$(f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).$

अगर $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ एक के लिए एक आधार बनाता है $n$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष $V$ और $(\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})$ दोहरे स्थान के लिए संगत दोहरा आधार है $V^{*}={\mathcal {T}}^{1}(V)$, फिर उत्पाद $\phi ^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \phi ^{i_{k}}$, साथ $1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}\leq n$ के लिए एक आधार तैयार करें ${\mathcal{T}}^k$