कार्टन अपघटन

गणित में, कार्टन अपघटन एक सेमीसिम्पल लाई बीजगणित लाई समूह या लाई बीजगणित का अपघटन है, जो उनके संरचना सिद्धांत और प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह मेट्रिसेस के ध्रुवीय अपघटन या एकवचन मान अपघटन को सामान्य करता है। इसका इतिहास एली कार्टन और विल्हेम हत्या के 1880 के दशक के काम का पता लगाया जा सकता है।^[1]

लाई बीजगणित पर कार्टन का निवेश

मान लीजिए ${\mathfrak {g}}$ एक वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित है और $B(\cdot ,\cdot )$ इसका घातक रूप है। ${\mathfrak {g}}$ पर एक जुड़ाव ${\mathfrak {g}}$ का झूठा बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म $\theta$ है जिसका वर्ग पहचान के समान है। यदि $B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)$ एक सकारात्मक निश्चित बिलिनियर रूप है, तो इस तरह के एक समावेशन को ${\mathfrak {g}}$ पर एक कार्टन समावेशन कहा जाता है।

दो इन्वोल्यूशन $\theta _{1}$ और $\theta _{2}$ समतुल्य माने जाते हैं यदि वे केवल एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म से भिन्न होते हैं।

किसी भी वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित में एक कार्टन का समावेश होता है, और कोई भी दो कार्टन का समावेशन समतुल्य होता है।

उदाहरण

${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ पर एक कार्टन निवेश $\theta (X)=-X^{T}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ $X^{T}$ ट्रांसपोज़ आव्यूह को $X$ दर्शाता है
${\mathfrak {g}}$ पर पहचान मानचित्र एक अंतर्वलन है। यह ${\mathfrak {g}}$ का अनोखा कार्टन समावेश है यदि और केवल यदि ${\mathfrak {g}}$ का किलिंग रूप नकारात्मक निश्चित है या, समकक्ष, यदि और केवल यदि ${\mathfrak {g}}$ लाई है कॉम्पैक्ट सेमीसिंपल लाई समूह का बीजगणित है ।
मान लीजिए कि ${\mathfrak {g}}$ एक वास्तविक अर्ध-सरल लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{0}$ का जटिलीकरण है, तो ${\mathfrak {g}}$ का जटिल संयुग्मन ${\mathfrak {g}}$ का एक अंतर्वलन है। यह ${\mathfrak {g}}$ पर कार्टन समावेश है यदि और केवल यदि ${\mathfrak {g}}_{0}$ कॉम्पैक्ट लाइ समूह का लाई बीजगणित है।
निम्नलिखित मानचित्र विशेष एकात्मक समूह SU(n) का:लाई बीजगणित ${\mathfrak {su}}(n)$ ${\mathfrak {su}}(n)$ के अंतर्वलन हैं
1. पहचान का समावेश $\theta _{1}(X)=X$ , जो इस स्थिति में अनोखा कार्टन समावेश है।
2. जटिल संयुग्मन, के रूप में अभिव्यक्त $\theta _{2}(X)=-X^{T}$ पर ${\mathfrak {su}}(2)$ .
3. यदि $n=p+q$ विचित्र है, $\theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}$ . समावेश (1), (2) और (3) समतुल्य हैं, किंतु पहचान के समतुल्य नहीं हैं ${\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)$ .
4. यदि $n=2m$ सम है, वहाँ $\theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}$ .भी है