सिमसन लाइन

File:Pedal Line.svg

त्रिभुज की सिमसन रेखा IN (लाल)। ABC बिंदु के संबंध में P परिवृत्त पर

ज्यामिति में, एक त्रिभुज दिया गया है ABC और एक बिंदु (ज्यामिति) P इसके परिवृत्त पर, तीन निकटतम बिंदुओं पर P लाइन पर AB, AC, और BC संरेख हैं। इन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा की सिमसन रेखा है P, रॉबर्ट सिमसन के नाम पर। अवधारणा पहली बार 1799 में विलियम वालेस (गणितज्ञ) द्वारा प्रकाशित की गई थी।

प्रमेय#विपरीत भी सत्य है; यदि तीन निकटतम अंक P तीन रेखाओं पर समरेख हैं, और फिर कोई भी दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं P तीन रेखाओं से बने त्रिभुज के परिवृत्त पर स्थित है। या दूसरे शब्दों में, त्रिभुज की सिमसन रेखा ABC और एक बिंदु P का सिर्फ पेडल त्रिकोण है ABC और P जो एक सीधी रेखा में पतित हो गया है और यह स्थिति लोकस (गणित) को विवश करती है P त्रिभुज के परिवृत्त का पता लगाने के लिए ABC.

समीकरण

त्रिभुज को जटिल तल में रखकर, त्रिभुज को दें ABC इकाई परिवृत्त के साथ ऐसे शीर्ष होते हैं जिनके स्थानों में जटिल निर्देशांक होते हैं a, b, c, और P को जटिल निर्देशांक के साथ दें p परिवृत्त पर एक बिंदु हो। सिमसन रेखा बिंदुओं का समुच्चय है z संतुष्टि देने वाला

$2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,$

जहां एक ओवरबार जटिल संयुग्मन को इंगित करता है।

गुण

File:Simson-deltoid-anim.gif

सिमसन रेखाएँ (लाल रंग में) स्टेनर डेल्टॉइड वक्र (नीले रंग में) की स्पर्शरेखाएँ हैं।

*त्रिकोण के किसी शीर्ष की सिमसन रेखा उस शीर्ष से गिराए गए त्रिभुज की ऊँचाई (ज्यामिति) होती है, और शीर्ष के बिल्कुल विपरीत बिंदु की सिमसन रेखा उस शीर्ष के विपरीत त्रिभुज की भुजा होती है।

• अगर P और Q परिवृत्त पर बिंदु हैं, फिर सिमसन रेखाओं के बीच का कोण P और Q चाप का आधा कोण है PQ. विशेष रूप से, यदि बिंदु बिलकुल विपरीत हैं, तो उनकी सिमसन रेखाएँ लंबवत होती हैं और इस मामले में रेखाओं का प्रतिच्छेदन नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है।
• देना H त्रिभुज के लंबकेंद्र को निरूपित करें ABC, की सिमसन रेखा P खंड को समद्विभाजित करें PH उस बिंदु पर जो नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित है।
• एक ही परिधि वाले दो त्रिभुज दिए गए हैं, एक बिंदु की सिमसन रेखाओं के बीच का कोण P दोनों त्रिभुजों के परिवृत्त पर निर्भर नहीं करता है P.
• सभी सिमसन रेखाओं का सेट, जब खींचा जाता है, संदर्भ त्रिभुज के स्टीनर डेल्टोइड के रूप में जाने वाले डेल्टोइड के आकार में एक लिफाफा (गणित) बनाता है।
• सिमसन रेखा का निर्माण जो संदर्भ त्रिकोण के एक पक्ष के साथ मेल खाता है (ऊपर पहली संपत्ति देखें) इस पार्श्व रेखा पर एक गैर-तुच्छ बिंदु उत्पन्न करता है। यह बिंदु बनाई जा रही साइड लाइन के मध्य बिंदु के बारे में ऊंचाई के पैर (साइड लाइन पर गिरा हुआ) का प्रतिबिंब है। इसके अलावा, यह बिंदु संदर्भ त्रिभुज की भुजा और उसके स्टेनर डेल्टॉइड के बीच एक स्पर्शरेखा बिंदु है।
• एक चतुर्भुज जो समांतर चतुर्भुज नहीं है, में एक और केवल एक पेडल बिंदु होता है, जिसे सिमसन बिंदु कहा जाता है, जिसके संबंध में चतुर्भुज पर पैर समरेख होते हैं। समलम्ब चतुर्भुज का सिम्पसन बिंदु दो गैर समानांतर भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
• कम से कम 5 भुजाओं वाले किसी भी उत्तल बहुभुज में सिमसन रेखा नहीं होती है।

अस्तित्व का प्रमाण

प्रमाण का तरीका यह दिखाना है $\angle NMP+\angle PML=180^{\circ }$. $PCAB$ एक चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए $\angle PBA+\angle ACP=\angle PBN+\angle ACP=180^{\circ }$. $PMNB$ एक चक्रीय चतुर्भुज (थेल्स प्रमेय) है, इसलिए $\angle PBN+\angle NMP=180^{\circ }$. इस तरह $\angle NMP=\angle ACP$. अब $PLCM$ चक्रीय है, इसलिए $\angle PML=\angle PCL=180^{\circ }-\angle ACP$. इसलिए $\angle NMP+\angle PML=\angle ACP+(180^{\circ }-\angle ACP)=180^{\circ }$.

सामान्यीकरण

सामान्यीकरण 1

File:A generalization of the Simson line.svg

AP, Bp, Cp का BC, CA, AB पर प्रक्षेप तीन संरेख बिंदु हैं

* मान लीजिए कि ABC एक त्रिभुज है, मान लीजिए कि एक रेखा ℓ परिकेन्द्र O से होकर जाती है, और एक बिंदु P को परिवृत्त पर स्थित होने दें। माना AP, BP, CP ℓ A पर मिलते हैं_p, बी_p, सी_pक्रमश। चलो ए₀, बी₀, सी₀ ए के अनुमान हो_p, बी_p, सी_pक्रमशः बीसी, सीए, एबी पर। फिर एक₀, बी₀, सी₀ संरेख हैं। इसके अलावा, नई रेखा PH के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है, जहाँ H ΔABC का लंबकेन्द्र है। यदि ℓ, P से होकर गुजरती है, तो रेखा सिमसन रेखा के संपाती हो जाती है।

File:A propjective Simson line.svg

सिमसन लाइन का एक प्रक्षेपी संस्करण

सामान्यीकरण 2

• त्रिभुज ABC के शीर्ष शंकु खंड Γ पर स्थित हैं, और Q, P को समतल में दो बिंदु होने दें। माना PA, PB, PC शंकु को A पर प्रतिच्छेद करते हैं₁, बी₁, सी₁ क्रमश। क्यूए₁ BC को A पर काटती है₂, क्यूबी₁ AC को B पर काटती है₂, और क्यूसी₁ AB को C पर काटती है₂. फिर चार अंक ए₂, बी₂, सी₂, और P संरेख हैं यदि केवल Q शांकव Γ पर स्थित है।

सामान्यीकरण 3

• R. F. सिस्टर ने चक्रीय चतुर्भुज की सिमसन रेखाएँ में चक्रीय चतुर्भुजों के लिए प्रमेय का सामान्यीकरण किया।

यह भी देखें

• पेडल त्रिकोण
• रॉबर्ट सिमसन

बाहरी संबंध

• Simson Line at cut-the-knot.org
• F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. "Simson Line". MathWorld.
• A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.