पॉट्स मॉडल

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, पॉट मॉडल आइसिंग मॉडल का सामान्यीकरण क्रिस्टलीय जाली पर परस्पर क्रिया करने का एक मॉडल है पॉट्स मॉडल का अध्ययन करके, लौह के व्यवहार और ठोस-अवस्था भौतिकी की कुछ अन्य घटनाओं के बारे में जानकारी प्राप्त की जा सकती है। पॉट्स मॉडल की शक्ति इतनी अधिक नहीं है कि यह इन भौतिक प्रणालियों को अच्छी प्रकार से मॉडल करे; जबकि यह है कि आयामी स्थिति वास्तव में हल करने योग्य है और इसमें समृद्ध गणितीय सूत्रीकरण है जिसका बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है।

मॉडल का नाम रेनफ्रे पॉट्स के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने अपने 1951 के पीएच.डी. थीसिस के अंत के समीप मॉडल का वर्णन किया था। मॉडल प्लानर पॉट्स या ZN मॉडल से संबंधित था, जिसका सुझाव उन्हें उनके सलाहकार सिरिल हिल ने दिया था। चार-राज्य पॉट्स मॉडल को कभी-कभी एश्किन-टेलर मॉडल के रूप में जाना जाता है, जूलियस अश्किन और एडवर्ड टेलर के बाद, जिन्होंने 1943 में समकक्ष मॉडल माना।

पॉट्स मॉडल XY मॉडल, हाइजेनबर्ग मॉडल (मौलिक ) और एन-वेक्टर मॉडल सहित कई अन्य मॉडलों से संबंधित है और सामान्यीकृत है। अनंत-श्रेणी पॉट्स मॉडल को एक्सवाई मॉडल के रूप में जाना जाता है। जब स्पिनों को गैर-एबेलियन समूह|गैर-एबेलियन विधियों से इंटरैक्ट करने के लिए लिया जाता है, तो मॉडल प्रवाह ट्यूब मॉडल से संबंधित होता है, जिसका उपयोग क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में रंग परिसीमन पर चर्चा करने के लिए किया जाता है। पॉट्स मॉडल के सामान्यीकरण का उपयोग धातुओं में अनाज के विकास और फोम में मोटे होने स्क्वाट मॉडल के लिए भी किया गया है। जेम्स ग्लेज़ियर और फ्रेंकोइस ग्रेनर द्वारा इन विधियों का और सामान्यीकरण, जिसे सेलुलर पॉट्स मॉडल के रूप में जाना जाता है, फोम और जैविक रूपजनन में स्थिर और गतिज घटना का अनुकरण करने के लिए उपयोग किया गया है।

परिभाषा

पॉट्स मॉडल में स्पिन होते हैं जो जाली (समूह) पर रखे जाते हैं; जाली को सामान्यतः दो-आयामी आयताकार यूक्लिडियन अंतरिक्ष जाली के रूप में लिया जाता है, किन्तु अधिकांशतः इसे अन्य आयामों और जाली संरचनाओं के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

मूल रूप से, डोंब ने सुझाव दिया कि स्पिन में से लेता है $q$ संभावित मान, कोणों पर, वृत्त के बारे में समान रूप से वितरित

$\theta _{s}={\frac {2\pi s}{q}},$

कहाँ $s=0,1,...,q-1$ और यह कि इंटरेक्शन हैमिल्टनियन यांत्रिकी द्वारा दिया गया है

$H_{c}=J_{c}\sum _{\langle i,j\rangle }\cos \left(\theta _{s_{i}}-\theta _{s_{j}}\right)$

निकटतम निकटतम जोड़े पर चल रहे योग के साथ $\langle i,j\rangle$ सभी जाली साइटों पर, और $J_{c}$ युग्मन स्थिरांक है, जो अंतःक्रिया शक्ति का निर्धारण करता है। इस मॉडल को अब वेक्टर पॉट्स मॉडल या क्लॉक मॉडल के रूप में जाना जाता है। पॉट्स ने चरण संक्रमण के लिए दो आयामों में स्थान प्रदान किया $q=3,4$. सीमा में $q\to \infty$, यह XY मॉडल बन जाता है।

जिसे अब मानक पॉट्स मॉडल के रूप में जाना जाता है, पॉट्स द्वारा उपरोक्त मॉडल के अपने अध्ययन के दौरान सुझाया गया था और इसे सरल हैमिल्टनियन द्वारा परिभाषित किया गया है:

$H_{p}=-J_{p}\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})\,$

कहाँ $\delta (s_{i},s_{j})$ क्रोनकर डेल्टा है, जो जब भी के बराबर होता है $s_{i}=s_{j}$ और शून्य अन्यथा। $q=2$ h> मानक पॉट्स मॉडल ईज़िंग मॉडल और 2-स्टेट वेक्टर पॉट्स मॉडल के बराबर है $J_{p}=-2J_{c}$. $q=3$ h> मानक पॉट्स मॉडल तीन-राज्य वेक्टर पॉट्स मॉडल के बराबर है $J_{p}=-{\frac {3}{2}}J_{c}$.

सामान्य सामान्यीकरण बाहरी चुंबकीय क्षेत्र शब्द का परिचय देना है $h$, और पैरामीटर को रकम के अंदर ले जाना और उन्हें पूरे मॉडल में अलग-अलग करने की अनुमति देना:

$\beta H_{g}=-\beta \left(\sum _{(i,j)}J_{ij}\delta (s_{i},s_{j})+\sum _{i}h_{i}s_{i}\right)\,$

कहाँ $\beta ={\frac {1}{kT}}$ उलटा तापमान, $k$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक और $T$ तापमान।

अलग-अलग कागजात थोड़े अलग सम्मेलनों को अपना सकते हैं, जो बदल सकते हैं $H$ और संबद्ध विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) योगात्मक या गुणात्मक स्थिरांक द्वारा।

भौतिक गुण

चरण संक्रमण

भौतिक प्रणाली के मॉडल के रूप में इसकी सादगी के अतिरिक्त, पोट्स मॉडल चरण संक्रमण के अध्ययन के लिए मॉडल प्रणाली के रूप में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, मानक फेरोमैग्नेटिक पॉट्स मॉडल के लिए $2d$, सभी वास्तविक मूल्यों के लिए चरण संक्रमण उपस्तिथ है $q\geq 1$, महत्वपूर्ण बिंदु के साथ $\beta J=\log(1+{\sqrt {q}})$. चरण संक्रमण निरंतर (दूसरा क्रम) है $1\leq q\leq 4$ और असंतत (पहला क्रम) के लिए $q>4$. क्लॉक मॉडल के लिए, इस बात का प्रमाण है कि संबंधित चरण संक्रमण अनंत क्रम बीकेटी संक्रमण हैं,और सतत चरण संक्रमण देखा जाता है जब $q\leq 4$. रिसाव सिद्धांत प्रॉब्लम्स और कॉम्बिनेटरिक्स में पाए जाने वाले सभी बहुपद और रंगीन बहुपद के मॉडल के संबंध के माध्यम से आगे का उपयोग पाया जाता है। के पूर्णांक मानों के लिए