कार्टन अपघटन

गणित में, कार्टन अपघटन एक सेमीसिम्पल लाई बीजगणित लाई समूह या लाई बीजगणित का अपघटन है, जो उनके संरचना सिद्धांत और प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह मेट्रिसेस के ध्रुवीय अपघटन या एकवचन मूल्य अपघटन को सामान्य करता है। इसका इतिहास एली कार्टन और विल्हेम हत्या के 1880 के दशक के काम का पता लगाया जा सकता है।

== लाई बीजगणित == पर कार्टन का निवेश

होने देना ${\mathfrak {g}}$ एक वास्तविक अर्धसरल झूठ बीजगणित और चलो $B(\cdot ,\cdot )$ उसका संहार रूप हो। एक इन्वोल्यूशन (गणित) पर ${\mathfrak {g}}$ एक झूठ बीजगणित automorphism है $\theta$ का ${\mathfrak {g}}$ जिसका वर्ग सर्वसमिका के बराबर है। इस तरह के शामिल होने को कार्टन इनवोल्यूशन ऑन कहा जाता है ${\mathfrak {g}}$ अगर $B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)$ एक सकारात्मक निश्चित द्विरेखीय रूप है।

दो इन्वोल्यूशन $\theta _{1}$ और $\theta _{2}$ समतुल्य माने जाते हैं यदि वे केवल एक आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म से भिन्न होते हैं।

किसी भी वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित में एक कार्टन का समावेश होता है, और कोई भी दो कार्टन का समावेशन समतुल्य होता है।

उदाहरण

• एक कार्टन इनवोल्यूशन चालू ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ द्वारा परिभाषित किया गया है $\theta (X)=-X^{T}$, कहाँ $X^{T}$ के स्थानान्तरण मैट्रिक्स को दर्शाता है $X$.
• पहचान मानचित्र पर ${\mathfrak {g}}$ एक अंतर्विरोध है। यह कार्टन का अनूठा समावेश है ${\mathfrak {g}}$ अगर और केवल अगर की हत्या का रूप ${\mathfrak {g}}$ नकारात्मक निश्चित है या, समकक्ष, अगर और केवल अगर ${\mathfrak {g}}$ एक कॉम्पैक्ट झूठ समूह सेमीसिंपल लाइ ग्रुप का लाई बीजगणित है।
• होने देना ${\mathfrak {g}}$ एक वास्तविक अर्धसरल लाई बीजगणित की जटिलता हो ${\mathfrak {g}}_{0}$, फिर जटिल संयुग्मन चालू करें ${\mathfrak {g}}$ पर संलिप्तता है ${\mathfrak {g}}$. यह कार्टन इन्वोल्यूशन चालू है ${\mathfrak {g}}$ अगर और केवल अगर ${\mathfrak {g}}_{0}$ कॉम्पैक्ट लाइ समूह का झूठ बीजगणित है।
• निम्नलिखित मानचित्र लाई बीजगणित के अंतर्वलन हैं ${\mathfrak {su}}(n)$ विशेष एकात्मक समूह SU(n) का:
  1. पहचान का समावेश $\theta _{1}(X)=X$, जो इस मामले में अनोखा कार्टन इनवोल्यूशन है।
  2. जटिल संयुग्मन, के रूप में अभिव्यक्त $\theta _{2}(X)=-X^{T}$ पर ${\mathfrak {su}}(2)$.
  3. अगर $n=p+q$ अजीब है, $\theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}$. इनवॉल्यूशन (1), (2) और (3) समतुल्य हैं, लेकिन पहचान के समतुल्य नहीं हैं ${\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)$.
  4. अगर $n=2m$ सम है, वहाँ भी है $\theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}$.

कार्टन जोड़े

होने देना $\theta$ झूठ बीजगणित पर एक समावेशन बनें ${\mathfrak {g}}$. तब से $\theta ^{2}=1$, रैखिक नक्शा $\theta$ दो eigenvalues ​​हैं $\pm 1$. अगर ${\mathfrak {k}}$ और ${\mathfrak {p}}$ क्रमशः +1 और -1 के अनुरूप ईजेनस्पेस को निरूपित करें, फिर ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$. तब से