आंशिक आदर्श

गणित में, विशेष रूप से क्रमविनिमेय बीजगणित में, आंशिक आदर्श की अवधारणा को अभिन्न डोमेन के संदर्भ में प्रस्तुत किया जाता है और डेडेकिंड डोमेन के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है। कुछ अर्थों में, एक अभिन्न डोमेन के आंशिक आदर्श आदर्श (रिंग सिद्धांत) की तरह होते हैं जहां भाजक की अनुमति होती है। संदर्भों में जहां भिन्नात्मक आदर्श और साधारण रिंग आदर्श दोनों चर्चा के अधीन हैं, बाद वाले को कभी-कभी स्पष्टता के लिए 'अभिन्न आदर्श' कहा जाता है।

परिभाषा और मूल परिणाम

मान लें कि $R$ एक अभिन्न डोमेन है, और $K=\operatorname {Frac} R$ इसके भिन्नों का क्षेत्र है।

$R$ का एक आंशिक आदर्श $K$ का एक $R$-उपमॉड्यूल है जैसे कि $R$ में एक गैर-शून्य $r\in R$ उपस्थित है जैसे कि $rI\subseteq R$ तत्व $r$ को $I$ में हरों को साफ करने के रूप में माना जा सकता है, इसलिए इसका नाम भिन्नात्मक आदर्श है।

प्रमुख आंशिक आदर्श वे हैं $R$- के उपमॉड्यूल $K$ के एक एकल अशून्य तत्व द्वारा उत्पन्न $K$. एक आंशिक आदर्श $I$ में निहित है $R$ यदि , और केवल यदि , यह एक ('अभिन्न') आदर्श है $R$.

एक भिन्नात्मक आदर्श $I$ को व्युत्क्रमणीय कहा जाता है यदि कोई अन्य भिन्नात्मक आदर्श $J$ ऐसा हो

$IJ=R$

जहाँ

$IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}$

दो भिन्नात्मक आदर्शों का गुणनफल कहा जाता है)।

इस स्थिति में, आंशिक आदर्श $J$ विशिष्ट रूप से निर्धारित और सामान्यीकृत आदर्श भागफल के समान है

$(R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.$

व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्शों का समूह उपरोक्त उत्पाद के संबंध में एक एबेलियन समूह बनाता है, जहां पहचान स्वयं इकाई आदर्श $(1)=R$ है। इस समूह को $R$ के भिन्नात्मक आदर्शों का समूह कहा जाता है। प्रमुख भिन्नात्मक आदर्श एक उपसमूह बनाते हैं। (अशून्य) आंशिक आदर्श व्युत्क्रम है, और केवल यदि यह $R$-मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेप्य है। ज्यामितीय रूप से इसका अर्थ है कि एक व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्श को श्रेणी 1 वेक्टर बंडल के रूप में व्याख्या की जा सकती है जो कि एफ़िन योजना ${\text{Spec}}(R)$ पर है।

K का प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न $R$-उपमॉड्यूल एक भिन्नात्मक आदर्श है और यदि R नोथेरियन है तो ये सभी $R$ के भिन्नात्मक आदर्श हैं।

डेडेकिंड डोमेन

डेडेकिंड डोमेन में स्थिति बहुत आसान है। विशेष रूप से, प्रत्येक शून्येतर भिन्नात्मक गुणजावली व्युत्क्रमणीय होती है। वास्तव में, यह गुण डेडेकिंड डोमेन की विशेषता बताता है:

एक अभिन्न डोमेन एक डेडेकिंड डोमेन है यदि , और केवल यदि , प्रत्येक गैर-शून्य आंशिक आदर्श व्युत्क्रमणीय है।

डेडेकिंड डोमेन $R$ पर भिन्नात्मक आदर्शों के समुच्चय को ${\text{Div}}(R)$