आंशिक आदर्श

गणित में, विशेष रूप से क्रमविनिमेय बीजगणित में, आंशिक आदर्श की अवधारणा को अभिन्न डोमेन के संदर्भ में पेश किया जाता है और डेडेकिंड डोमेन के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है। कुछ अर्थों में, एक अभिन्न डोमेन के आंशिक आदर्श आदर्श (रिंग थ्योरी) की तरह होते हैं जहां भाजक की अनुमति होती है। संदर्भों में जहां भिन्नात्मक आदर्श और साधारण अंगूठी आदर्श दोनों चर्चा के अधीन हैं, बाद वाले को कभी-कभी स्पष्टता के लिए 'अभिन्न आदर्श' कहा जाता है।

परिभाषा और मूल परिणाम

होने देना $R$ एक अभिन्न डोमेन बनें, और दें $K=\operatorname {Frac} R$ इसके अंशों का क्षेत्र हो।

का एक भिन्नात्मक आदर्श $R$ एक $R$-सबमॉड्यूल $I$ का $K$ ऐसा है कि वहाँ एक गैर शून्य मौजूद है $r\in R$ ऐसा है कि $rI\subseteq R$. तत्व $r$ में denominators को साफ़ करने के बारे में सोचा जा सकता है $I$, इसलिए नाम भिन्नात्मक आदर्श।

प्रमुख आंशिक आदर्श वे हैं $R$- के सबमॉड्यूल $K$ के एक एकल अशून्य तत्व द्वारा उत्पन्न $K$. एक आंशिक आदर्श $I$ में निहित है $R$ अगर, और केवल अगर, यह एक ('अभिन्न') आदर्श है $R$.

एक आंशिक आदर्श $I$ यदि कोई अन्य भिन्नात्मक गुणजावली हो तो उसे व्युत्क्रमणीय कहा जाता है $J$ ऐसा है कि

$IJ=R$

कहाँ

$IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}$

दो भिन्नात्मक आदर्शों का गुणनफल कहा जाता है)।

इस मामले में, आंशिक आदर्श $J$ विशिष्ट रूप से निर्धारित और सामान्यीकृत आदर्श भागफल के बराबर है

$(R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.$

व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्शों का सेट उपरोक्त उत्पाद के संबंध में एक एबेलियन समूह बनाता है, जहां पहचान इकाई आदर्श है $(1)=R$ अपने आप। इस समूह को के भिन्नात्मक आदर्शों का समूह कहा जाता है $R$. प्रमुख भिन्नात्मक आदर्श एक उपसमूह बनाते हैं। ए (अशून्य) भिन्नात्मक आदर्श उलटा है अगर, और केवल अगर, यह एक के रूप में प्रक्षेपी मॉड्यूल है $R$-मापांक। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि एक व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्श को एक रिंग के स्पेक्ट्रम पर रैंक 1 वेक्टर बंडल (बीजीय ज्यामिति) के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। ${\text{Spec}}(R)$.

प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल | K का अंतिम रूप से उत्पन्न R-सबमॉड्यूल एक भिन्नात्मक आदर्श है और यदि $R$ नोएदरियन वलय है, ये सभी भिन्नात्मक गुणजावली हैं $R$.

डेडेकिंड डोमेन

Dedekind डोमेन में स्थिति बहुत आसान है। विशेष रूप से, प्रत्येक शून्येतर भिन्नात्मक गुणजावली व्युत्क्रमणीय होती है। वास्तव में, यह गुण Dedekind डोमेन की विशेषता बताता है:

एक अभिन्न डोमेन एक Dedekind डोमेन है अगर, और केवल अगर, प्रत्येक गैर-शून्य आंशिक आदर्श व्युत्क्रमणीय है।

Dedekind डोमेन पर भिन्नात्मक आदर्शों का सेट $R$