सहवाद

सहवाद (डब्ल्यू; एम, एन)।

गणित में, सहवाद एक समान आयाम के सुसंहत प्रसमष्‍टि के वर्ग पर एक मौलिक तुल्यता संबंध है, जो कि प्रसमष्‍टि की सीमा (फ्रेंच बोर्ड, सहवाद दे रहा है) की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया है। समान आयाम के दो प्रसमष्‍टि समरूप होते हैं यदि उनका असंयुक्‍त सम्मिलन एक सुसंहत प्रसमष्‍टि एक आयाम की सीमा है।

एक (n + 1)-आयामी प्रसमष्‍टि W की सीमा एक n-आयामी प्रसमष्‍टि ∂W है जो कि रिक्त सीमा के साथ संवृत है। सामान्य रूप से, एक संवृत प्रसमष्‍टि को सीमा सहवाद सिद्धांत नहीं होना चाहिए, सभी संवृत प्रसमष्‍टि और जो सीमाएं हैं, के बीच अंतर का अध्ययन है। सिद्धांत मूल रूप से रेने थॉम द्वारा सामान्य प्रसमष्‍टि (अर्थात, अलग-अलग) के लिए विकसित किया गया था, लेकिन अब भागों के रैखिक और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टि के संस्करण भी हैं।

प्रसमष्‍टि M और N के बीच एक सहवाद एक सुसंहत प्रसमष्‍टि W है, जिसकी सीमा M और N का $\partial W=M\sqcup N$ असंयुक्‍त सम्मिलन है।

सहवाद का अध्ययन उनके द्वारा उत्पन्न समतुल्यता संबंध के लिए और अपने आप में वस्तुओं के रूप में किया जाता है। सहवाद अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी की तुलना में बहुत स्थूल तुल्यता संबंध है, और इसका अध्ययन और गणना करना काफी आसान है। आयाम ≥ 4 में अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव नहीं है - क्योंकि समूहों के लिए पद समस्या को संशोधित नहीं किया जा सकता है - लेकिन सहवाद तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव है। सहवाद ज्यामितीय सांस्थिति और बीजगणितीय सांस्थिति में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं। ज्यामितीय सांस्थिति में, सहवाद मोर्स सिद्धांत के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं, और h-सहवाद उच्च-आयामी प्रसमष्टि, अर्थात् प्रसमष्टि सिद्धांत के अध्ययन में मौलिक हैं। बीजगणितीय सांस्थिति में, सहवाद सिद्धांत मौलिक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत हैं, और सहवाद की श्रेणियां सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों के प्रक्षेत्र हैं।

परिभाषा

प्रसमष्‍टि

सामान्य रूप से, एक n-आयाम प्रसमष्‍टि (गणित) M एक स्थलीय सांस्थितिक समष्टि प्रतिवेश (गणित) है (अर्थात, प्रत्येक बिंदु के पास) सम-आकारिकी यूक्लिडियन समष्टि $\mathbb {R} ^{n}$ के एक विवृत उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है। सीमा के साथ प्रसमष्टि समान है, इसके अतिरिक्त कि M के एक बिंदु को एक प्रतिवेश रखने की अनुमति है जो अर्धसमष्‍टि(ज्यामिति) के विवृत उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है

$\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}.$

यूक्लिडियन समष्टि के एक विवृत उपसमुच्चय के बिना पड़ोस होमियोमॉर्फिक के बिना वे बिंदु M के सीमा बिंदु हैं; M की सीमा $\partial M$ द्वारा दर्शाया गया है। अंत में, परिभाषा के अनुसार, एक संवृत प्रसमष्टि सीमा के बिना एक सुसंहत समष्टि ($\partial M=\emptyset$) होता है।

सहवाद

एक $(n+1)$-आयाम सहवाद एक पंचगुण $(W;M,N,i,j)$ है। जिसमे एक $(n+1)$ आयामी सुसंहत अवकल प्रसमष्‍टि $W$ संवृत किया हुआ और $n$-प्रसमष्‍टि $M$, $N$ और अन्तः स्थापित $i\colon M\hookrightarrow \partial W$, $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ द्वारा असंबद्ध छवियों के साथ जैसे कि

$\partial W=i(M)\sqcup j(N)~.$

शब्दावली को सामान्य रूप से $(W;M,N)$ के लिए संक्षिप्त की जाती है। M और N को समरूप कहा जाता है यदि इस तरह का एक सहवाद सम्मिलित है। सभी प्रसमष्‍टि एक निश्चित दिए गए प्रसमष्‍टि M के लिए समरूप M के सहवाद वर्ग का निर्माण करते हैं।

प्रत्येक संवृत प्रसमष्‍टि M गैर-सुसंहत प्रसमष्‍टि M × [0, 1) की सीमा है; इस कारण से हमें आवश्यकता है कि W को सहवाद की परिभाषा में सुसंहत होना चाहिए। हालाँकि ध्यान दें कि W को संयोजित करने की आवश्यकता नहीं है; परिणामस्वरूप, यदि M = ∂W₁ और N = ∂W₂, तो M और N सहसमन्वय हैं।

उदाहरण

सहवाद का सबसे सरल उदाहरण इकाई अंतराल I = [0, 1] होता है। यह 0-आयामी प्रसमष्‍टि {0}, {1} के बीच एक 1-आयामी सहवाद है। अधिक सामान्य रूप से, किसी भी संवृत प्रसमष्‍टि M के लिए, (M × I; M × {0} , M × {1} ) M × {0} से M × {1} तक सहवाद है।

एकल वृत्त (शीर्ष पर) और असंबद्ध वृत्तों की एक जोड़ी (नीचे) के बीच एक सह-सीमा।

यदि M में एक वृत्त है, और N में दो वृत्त हैं, तो M और N मिलकर पैंट (गणित) W की एक जोड़ी की सीमा बनाते हैं (दाईं ओर का चित्र देखें)। इस प्रकार पैंट के युग्म M और N के बीच एक सहवाद है। M और N के बीच एक सरल सहवाद तीन बिम्ब के असंयुक्त सम्मिलन द्वारा दिया जाता है।

पैंट के युग्म एक अधिक सामान्य सहवाद का एक उदाहरण है: किसी भी दो n-आयामी प्रसमष्‍टि M, M' के लिए, अलग सम्मिलन $M\sqcup M'$ संसक्त राशि $M\mathbin {\#} M'$ के अनुरूप है। पूर्व उदाहरण एक विशेष स्थिति है। क्योंकि संसक्त योग $\mathbb {S} ^{1}\mathbin {\#} \mathbb {S} ^{1}$ के लिए $\mathbb {S} ^{1}$ समरूपीय है। संयोजित राशि $M\mathbin {\#} M'$ असंबद्ध सम्मिलन से $M\sqcup M'$ प्राप्त किया जाता है। अंत:स्थापन पर प्रसमष्टि द्वारा $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{n}$ में $M\sqcup M'$ और सहवाद प्रसमष्टि का चिन्ह है।

शब्दावली

एक n-प्रसमष्‍टि M को अशक्त-समरूप कहा जाता है यदि M और रिक्त प्रसमष्‍टि के बीच एक सह-संबंध है; दूसरे शब्दों में, यदि M कुछ (n + 1)-प्रसमष्‍टि की संपूर्ण सीमा है। उदाहरण के लिए, वृत्त अशक्त है क्योंकि यह एक डिस्क को सीमित करता है। अधिक सामान्य रूप से, एक n-गोला अशक्त-सहवर्ती होता है क्योंकि यह एक (n + 1) -डिस्क को बांधता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक उन्मुख सतह अशक्त-समन्वय है, क्योंकि यह एक हैंडलबॉडी की सीमा है। दूसरी ओर, 2n-आयामी वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टि $\mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )$ एक (सुसंहत) संवृत प्रसमष्‍टि है जो प्रसमष्‍टि की सीमा नहीं है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

सामान्य सीमावाद की समस्या विभिन्न स्थितियों के अधीन प्रसमष्‍टि के सह-सीमावाद वर्गों की गणना करना है।

अतिरिक्त संरचना वाले अशक्त-सह-संबंधों को पूरक कहा जाता है। सीमावाद और सह-सीमावाद का उपयोग कुछ लेखकों द्वारा परस्पर विनिमय के रूप में किया जाता है; दूसरे उन्हें अलग करते हैं। जब कोई अपने स्वयं के अधिकार में वस्तुओं के रूप में सहवाद वर्गों के अध्ययन से अंतर करना चाहता है, तो वह तुल्यता प्रश्न को प्रसमष्‍टि की सीमावाद कहते हैं, और प्रसमष्‍टि वस्तुओं के रूप में सह-सीमावाद का अध्ययन करता है।

सीमवाद शब्द फ्रांसीसी बोर्ड से आया है, जिसका अर्थ सीमा है। इसलिए सीमावाद सीमाओं का अध्ययन है। सहवाद का अर्थ संयुक्त रूप से बाध्य है, इसलिए M और N समरूप हैं यदि वे संयुक्त रूप से प्रसमष्‍टि बाध्य हैं; अर्थात, यदि उनका असम्बद्ध सम्मिलन एक सीमा है। इसके अतिरिक्त, सहवाद समूह एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत बनाते हैं।

प्रकार

उपरोक्त परिभाषा का सबसे मौलिक रूप है। इसे उन्मुख सीमवाद भी कहा जाता है। कई स्थितियों में, प्रश्न में प्रसमष्टि उन्मुख होते हैं, या GG-संरचना के रूप में संदर्भित कुछ अन्य अतिरिक्त संरचना ले जाते हैं। यह क्रमशः "उन्मुख सह सीमवाद" और "G-संरचना के साथ सह सीमवाद" को उत्पन्न करता है। अनुकूल तकनीकी परिस्थितियों में ये एक श्रेणीबद्ध वलय बनाते हैं जिसे सह सीमवाद वलय $\Omega _{*}^{G}$ कहा जाता है, आयाम द्वारा क्रमिक के साथ, अलग संघ द्वारा जोड़ और कार्तीय गुणनफल द्वारा गुणा किया जाता है। सह सीमवाद समूह $\Omega _{*}^{G}$ एक सामान्यीकृत होमोलॉजी (सजातीयता) सिद्धांत के गुणांक समूह हैं।

जब अतिरिक्त संरचना होती है, तो सह-सीमावाद की धारणा को अधिक परिशुद्ध रूप से तैयार किया जाना चाहिए: डब्ल्यू पर एक जी-संरचना एम और एन पर जी-संरचना तक सीमित है।

मूल उदाहरण G = O गैर-उन्मुख सह-सीमवाद के लिए G = SO उन्मुख सह-सीमावाद के लिए और G = U जटिल प्रसमष्टि का उपयोग करके जटिल सह-वाद के लिए हैं। रॉबर्ट ई. स्टोंग द्वारा और भी बहुत अधिक विस्तृत किया गया है।

इसी तरह, शल्य चिकित्सा सिद्धांत में एक मानक उपकरण सामान्य मानचित्रों पर शल्य चिकित्सा है: ऐसी प्रक्रिया एक सामान्य मानचित्र को उसी सीमवाद वर्ग के अंदर दूसरे सामान्य मानचित्र में परिवर्तित कर देती है।

अतिरिक्त संरचना पर विचार करने के अतिरिक्त, प्रसमष्‍टि की विभिन्न धारणाओं को ध्यान में रखना भी संभव है, विशेष रूप से खंडश: रैखिक (पीएल) और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टिके विभिन्न विचारों को ध्यान में रखना भी संभव है। यह सीमावाद समूहों $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ को उत्पन्न करता है, जिनकी गणना करना अलग-अलग प्रतिवर्त की तुलना में कठिन है।

शल्य चिकित्सा का निर्माण

याद करें कि सामान्य रूप से, यदि X, Y प्रसमष्‍टि सीमा के साथ हैं, तो गुणनफल प्रसमष्‍टि की सीमा ∂(X × Y) = (∂X × Y) ∪ (X × ∂Y) है।

अब, आयाम n = p + q का प्रसमष्टि M दिया गया अन्तः स्थापन $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$को n-प्रसमष्‍टि परिभाषित करें

$N:=(M-<!--\; -\; -->$