सहवाद

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एक कोबोर्डिज्म (डब्ल्यू; एम, एन)।

गणित में, सह-बोर्डिज्म एक ही आयाम सुसंहत जगह [[चिकना प्रसमष्‍टि]] के वर्ग पर एक मौलिक तुल्यता संबंध है, जिसे सीमा (सांस्थिति) की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया है (फ्रेंच विकट:बॉर्ड#फ्रेंच, कोबार्डिज्म देते हुए ) प्रसमष्‍टि। एक ही आयाम के दो प्रसमष्‍टि कोबार्डेंट हैं यदि उनका असम्बद्ध मिलन एक सुसंहत प्रसमष्‍टि एक डायमेंशन की सीमा है।

एक (n + 1)-आयामी प्रसमष्‍टि W की सीमा एक n-आयामी प्रसमष्‍टि ∂W है जो संवृत है, यानी खाली सीमा के साथ। सामान्य रूप से, एक संवृत प्रसमष्‍टि को सीमा नहीं होना चाहिए: कोबोर्डिज्म सिद्धांत सभी संवृत प्रसमष्‍टि और जो सीमाएं हैं, के बीच अंतर का अध्ययन है। सिद्धांत मूल रूप से रेने थॉम द्वारा चिकनी प्रसमष्‍टि (यानी, अलग-अलग) के लिए विकसित किया गया था, लेकिन अब इसके लिए भी संस्करण हैं टुकड़ावार रैखिक प्रसमष्‍टि और टोपोलॉजिकल प्रसमष्‍टि।

प्रसमष्‍टि एम और एन के बीच एक कोबोर्डिज्म एक सुसंहत प्रसमष्‍टि डब्ल्यू है, जिसकी सीमा एम और एन का असम्बद्ध मिलन है, $\partial W=M\sqcup N$.

सह-बोर्डवादों का अध्ययन उनके द्वारा उत्पन्न तुल्यता संबंध और अपने आप में वस्तुओं के रूप में दोनों के लिए किया जाता है। डिफियोमोर्फिज्म या प्रसमष्‍टि के होमियोमोर्फिज्म की तुलना में कोबोर्डिज्म एक अधिक मोटे तुल्यता संबंध है, और अध्ययन और गणना करना काफी आसान है। आयाम ≥ 4 में भिन्नता या होमोमोर्फिज्म तक प्रसमष्‍टि वर्गीकृत करना संभव नहीं है - क्योंकि समूहों के लिए शब्द समस्या को हल नहीं किया जा सकता है - लेकिन प्रसमष्‍टि को कोबोर्डिज्म तक वर्गीकृत करना संभव है। ज्यामितीय सांस्थिति और बीजगणितीय सांस्थिति में सह-बोर्डिज्म अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं। ज्यामितीय सांस्थिति में, मोर्स सिद्धांत के साथ मोर्स थ्योरी के साथ कोबर्डिज़्म #संयोजन हैं, और एच-कोबर्डिज़्म | बीजगणितीय सांस्थिति में, कोबोर्डिज्म सिद्धांत मौलिक असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत हैं, और कोबोर्डिज्म#श्रेणीबद्ध पहलू टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के डोमेन हैं।

परिभाषा

प्रसमष्‍टि

सामान्य रूप से, एक एन-आयाम प्रसमष्‍टि (गणित) एम एक स्थलीय अंतरिक्ष पड़ोस (गणित) है (अर्थात, प्रत्येक बिंदु के पास) होमोमोर्फिज़्म यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय के लिए $\mathbb {R} ^{n}.$ सीमा के साथ प्रसमष्‍टि समान है, सिवाय इसके कि एम के एक बिंदु को एक पड़ोस रखने की अनुमति है जो अर्ध-अंतरिक्ष (ज्यामिति) के एक खुले उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है।

$\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}.$

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय के बिना पड़ोस होमियोमॉर्फिक के बिना वे बिंदु सीमा बिंदु हैं $M$; की सीमा $M$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\partial M$. अंत में, एक संवृत प्रसमष्‍टि, परिभाषा के अनुसार, बिना सीमा के एक सुसंहत समष्टि प्रसमष्‍टि ($\partial M=\emptyset$.)

सहकारिता

एक $(n+1)$-आयाम कोबोर्डिज्म एक पंचगुना है $(W;M,N,i,j)$ एक से मिलकर $(n+1)$सीमा के साथ आयामी सुसंहत अलग-अलग प्रसमष्‍टि, $W$; संवृत किया हुआ $n$-प्रसमष्‍टि $M$, $N$; और एम्बेडिंग $i\colon M\hookrightarrow \partial W$, $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ असंबद्ध छवियों के साथ जैसे कि

$\partial W=i(M)\sqcup j(N)~.$

शब्दावली को आमतौर पर संक्षिप्त किया जाता है $(W;M,N)$. एम और एन को कोबोर्डेंट कहा जाता है यदि इस तरह के एक कोबोर्डवाद सम्मिलित है। सभी प्रसमष्‍टि एक निश्चित दिए गए प्रसमष्‍टि एम के लिए कोबोर्डेंट एम के कोबोर्डिज्म वर्ग का निर्माण करते हैं।

प्रत्येक संवृत प्रसमष्‍टि एम गैर-सुसंहत प्रसमष्‍टि एम × [0, 1) की सीमा है; इस कारण से हमें आवश्यकता है कि डब्ल्यू को कोबोर्डिज्म की परिभाषा में सुसंहत होना चाहिए। हालाँकि ध्यान दें कि W को कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है; परिणामस्वरूप, यदि M = ∂W₁ और एन = ∂डब्ल्यू₂, तो M और N सहसमन्वय हैं।

उदाहरण

सह-बोर्डवाद का सबसे सरल उदाहरण इकाई अंतराल है I = [0, 1]. यह 0-आयामी प्रसमष्‍टि {0}, {1} के बीच एक 1-आयामी कोबोर्डिज्म है। अधिक आम रूप से, किसी भी संवृत प्रसमष्‍टि एम के लिए, (M × I; M × {0} , M × {1} ) M × {0} से M × {1} तक सह-बोर्डवाद है।

File:Pair of pants cobordism (pantslike).svg

एकल वृत्त (शीर्ष पर) और असम्बद्ध हलकों की एक जोड़ी (नीचे) के बीच एक कोबोर्डवाद।

यदि M में एक वृत्त है, और N में दो वृत्त हैं, तो M और N मिलकर पैंट (गणित) W की एक जोड़ी की सीमा बनाते हैं (दाईं ओर का चित्र देखें)। इस प्रकार पैंट की जोड़ी एम और एन के बीच एक कोबोर्डिज्म है। एम और एन के बीच एक सरल कोबोर्डिज्म तीन डिस्क के असंयुक्त संघ द्वारा दिया जाता है।

पैंट की जोड़ी एक अधिक सामान्य कोबोर्डिज़्म का एक उदाहरण है: किसी भी दो एन-आयामी प्रसमष्‍टि एम, एम' के लिए, अलग संघ $M\sqcup M'$ जुड़ी हुई राशि के अनुरूप है $M\mathbin {\#} M'.$ जुड़ा योग के बाद से पिछला उदाहरण एक विशेष मामला है $\mathbb {S} ^{1}\mathbin {\#} \mathbb {S} ^{1}$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $\mathbb {S} ^{1}.$ जुड़ा हुआ योग $M\mathbin {\#} M'$ असंयुक्त संघ से प्राप्त होता है $M\sqcup M'$ के एक एम्बेडिंग पर सर्जरी द्वारा $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{n}$ में $M\sqcup M'$, और कोबोर्डिज्म सर्जरी का निशान है।

शब्दावली

एक n-प्रसमष्‍टि M को अशक्त-कोबॉर्डेंट कहा जाता है यदि M और खाली प्रसमष्‍टि के बीच एक सह-संबंध है; दूसरे शब्दों में, यदि M कुछ (n + 1)-प्रसमष्‍टि की संपूर्ण सीमा है। उदाहरण के लिए, सर्कल अशक्त है क्योंकि यह एक डिस्क को बांधता है। अधिक आम रूप से, एक n-गोला अशक्त-सहवर्ती होता है क्योंकि यह एक (n + 1) -डिस्क को बांधता है। इसके अलावा, प्रत्येक उन्मुख सतह अशक्त-समन्वय है, क्योंकि यह एक android की सीमा है। दूसरी ओर, 2n-आयामी वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान $\mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )$ एक (सुसंहत) संवृत प्रसमष्‍टि है जो प्रसमष्‍टि की सीमा नहीं है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

सामान्य सीमावाद की समस्या विभिन्न स्थितियों के अधीन प्रसमष्‍टि के सह-बोर्डवाद वर्गों की गणना करना है।

अतिरिक्त संरचना वाले अशक्त-सह-संबंधों को सहानुभूति भरना कहा जाता है। बोर्डवाद और सह-बोर्डवाद का उपयोग कुछ लेखकों द्वारा परस्पर विनिमय के रूप में किया जाता है; दूसरे उन्हें अलग करते हैं। जब कोई अपने स्वयं के अधिकार में वस्तुओं के रूप में सह-बोर्डवाद वर्गों के अध्ययन से अंतर करना चाहता है, तो वह तुल्यता प्रश्न को प्रसमष्‍टि की सीमावाद कहते हैं, और प्रसमष्‍टि वस्तुओं के रूप में सह-सीमावाद का अध्ययन करता है।

बोर्डिज्म शब्द फ्रेंच से आया है bord, तात्पर्य सीमा। इसलिए सीमावाद सीमाओं का अध्ययन है। कोबोर्डिज्म का अर्थ संयुक्त रूप से बाध्य है, इसलिए एम और एन कोऑर्डेंट हैं यदि वे संयुक्त रूप से प्रसमष्‍टि बाध्य हैं; यानी, यदि उनका असम्बद्ध मिलन एक सीमा है। इसके अलावा, कोबोर्डिज़्म समूह एक असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत बनाते हैं, इसलिए सह-।

प्रकार

उपरोक्त परिभाषा का सबसे मौलिक रूप है। इसे अनओरिएंटेड बोर्डिज्म भी कहा जाता है। कई स्थितियों में, विचाराधीन प्रसमष्‍टि उन्मुखता है, या कुछ अन्य अतिरिक्त संरचना को जी-संरचना के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह #Oriented coboardism| को जन्म देता है क्रमशः जी-संरचना के साथ उन्मुख सह-बोर्डवाद और सह-बोर्डवाद। अनुकूल तकनीकी परिस्थितियों में ये एक वर्गीकृत अंगूठी बनाते हैं जिसे कोबोर्डिज्म रिंग कहा जाता है $\Omega _{*}^{G}$, आयाम द्वारा ग्रेडिंग के साथ, अलग संघ द्वारा जोड़ और कार्तीय गुणनफल द्वारा गुणा। कोबोर्डवाद समूह $\Omega _{*}^{G}$ एक #Cobordism_as_an_extraordinary_cohomology_theory के गुणांक समूह हैं।

जब अतिरिक्त संरचना होती है, तो कोबोर्डिज्म की धारणा को और अधिक सटीक रूप से तैयार किया जाना चाहिए: डब्ल्यू पर एक जी-संरचना एम और एन पर एक जी-संरचना तक सीमित है। मूल उदाहरण गैर-उन्मुख सह-संघवाद के लिए जी = ओ हैं, जी = एसओ उन्मुख सह-संघवाद के लिए , और जी = यू जटिल जटिल प्रसमष्‍टि का उपयोग करके जटिल सह-वाद के लिए। और भी बहुत कुछ रॉबर्ट एवर्ट स्टोंग |रॉबर्ट ई. स्टोंग द्वारा विस्तृत किया गया है। इसी तरह, शल्य चिकित्सा सिद्धांत में एक मानक उपकरण सामान्य आक्रमणकारियों पर शल्य चिकित्सा है: ऐसी प्रक्रिया एक सामान्य मानचित्र को उसी बोर्डिज्म वर्ग के भीतर दूसरे सामान्य मानचित्र में बदल देती है।

अतिरिक्त संरचना पर विचार करने के बजाय, प्रसमष्‍टि की विभिन्न धारणाओं को ध्यान में रखना भी संभव है, विशेष रूप से पीसवाइज लीनियर प्रसमष्‍टि|पीसवाइज लीनियर (पीएल) और टोपोलॉजिकल प्रसमष्‍टि। यह सीमावाद समूहों को जन्म देता है $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$, जिनकी गणना करना अलग-अलग वेरिएंट की तुलना में कठिन है।

सर्जरी निर्माण

याद करें कि सामान्य रूप से, यदि एक्स, वाई प्रसमष्‍टि सीमा के साथ हैं, तो गुणनफल प्रसमष्‍टि की सीमा है ∂(X × Y) = (∂X × Y) ∪ (X × ∂Y).

अब, आयाम n = p + q और एक एम्बेडिंग का प्रसमष्‍टि M दिया गया है $$