दूरी ज्यामिति

दूरी ज्यामिति गणित की वह शाखा है जो अंक के जोड़े के बीच की दूरी के दिए गए मानों पर 'केवल' आधारित बिंदुओं के लक्षण वर्णन (गणित) और अध्ययन सेट (गणित) से संबंधित है।अधिक संक्षेप में, यह अर्धमितीय स्थान स्थान और उनके बीच आइसोमेट्री का अध्ययन है। इस दृष्टि से, इसे सामान्य टोपोलॉजी के अंतर्गत एक विषय के रूप में माना जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से, दूरी ज्यामिति में पहला परिणाम पहली शताब्दी ईस्वी में हीरोन का सूत्र है। आधुनिक सिद्धांत की शुरुआत 19वीं सदी में आर्थर केली के काम से हुई, इसके बाद 20वीं सदी में कार्ल मेन्जर और अन्य लोगों ने और अधिक व्यापक विकास किए।

दूरी ज्यामिति की समस्याएँ तब उत्पन्न होती हैं जब किसी को उनके बीच की दूरियों से बिंदुओं के विन्यास (सापेक्ष स्थिति) के आकार का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है, जैसे जीव विज्ञान में,सेंसर नेटवर्क,सर्वेक्षण, मार्गदर्शन , नक्शानवीसी और भौतिकी।

परिचय और परिभाषाएँ

The concepts of distance geometry will first be explained by describing two particular problems.

अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन की समस्या

पहली समस्या: अतिशयोक्तिपूर्ण नेविगेशन

तीन ग्राउंड रेडियो स्टेशनों ए, बी, सी पर विचार करें, जिनके स्थान ज्ञात हैं। एक रेडियो रिसीवर अज्ञात स्थान पर है। स्टेशनों से रिसीवर तक रेडियो सिग्नल की यात्रा करने में लगने वाला समय, $t_{A},t_{B},t_{C}$, अज्ञात हैं, किन्तु समय के अंतर, $t_{A}-t_{B}$ और $t_{A}-t_{C}$, ज्ञात हैं। उनसे दूरी के अंतर को जाना जा सकता है $c(t_{A}-t_{B})$ और $c(t_{A}-t_{C})$जिससे रिसीवर की स्थिति का पता लगाया जा सकता है।

दूसरी समस्या: आयामीता में कमी

डेटा विश्लेषण में, किसी को अधिकांशतः वेक्टर के रूप में दर्शाए गए डेटा की एक सूची दी जाती है $\mathbf {v} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$, और किसी को यह पता लगाने की जरूरत है कि क्या वे कम-आयामी एफ़िन सबस्पेस के भीतर हैं। डेटा के निम्न-आयामी प्रतिनिधित्व के कई फायदे हैं, जैसे भंडारण स्थान की बचत, गणना समय, और डेटा में उत्तम अंतर्दृष्टि प्रदान करना।

परिभाषाएँ

अब हम कुछ परिभाषाओं को औपचारिक रूप देते हैं जो स्वाभाविक रूप से हमारी समस्याओं पर विचार करने से उत्पन्न होती हैं।

अर्धमितीय स्थान

बिंदुओं की सूची दी गई है $R=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\}$, $n\geq 0$, हम मनमाने ढंग से बिंदुओं के जोड़े के बीच की दूरी को एक सूची द्वारा निर्दिष्ट कर सकते हैं $d_{ij}>0$, $0\leq i<j\leq n$. यह अर्ध मीट्रिक स्थान को परिभाषित करता है: त्रिकोण असमानता के बिना एक मीट्रिक स्थान।

स्पष्ट रूप से, हम एक अर्धमितीय स्थान को एक गैर-खाली सेट के रूप में परिभाषित करते हैं $R$ एक सेमीमेट्रिक से लैस $d:R\times R\to [0,\infty )$ ऐसा कि, सभी के लिए $x,y\in R$,

1. सकारात्मकता: $d(x,y)=0$ यदि और केवल यदि$x=y$.
2. समरूपता: $d(x,y)=d(y,x)$.

कोई भी मीट्रिक स्पेस Argumentum a fortiori a semimetric space होता है। विशेष रूप से, $\mathbb {R} ^{k}$, द $k$-डायमेंशनल यूक्लिडियन अंतरिक्ष , डिस्टेंस ज्योमेट्री में कानूनी फॉर्म मेट्रिक स्पेस है।

परिभाषा में त्रिभुज असमानता को छोड़ दिया गया है, क्योंकि हम दूरियों पर अधिक प्रतिबंध लागू नहीं करना चाहते हैं $d_{ij}$ केवल आवश्यकता से अधिक कि वे सकारात्मक हों।

व्यवहार में, अर्धमितीय स्थान स्वाभाविक रूप से गलत माप से उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, तीन अंक दिए गए $A,B,C$ एक लाइन पर, के साथ $d_{AB}=1,d_{BC}=1,d_{AC}=2$, एक गलत माप दे सकता है $d_{AB}=0.99,d_{BC}=0.98,d_{AC}=2.00$, त्रिकोण असमानता का उल्लंघन।

आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग

दो अर्धमितीय रिक्त स्थान दिए गए हैं, $(R,d),(R',d')$, एक आइसोमेट्री से $R$ को $R'$ एक नक्शा है $f:R\to R'$ जो सेमीमेट्रिक यानी सभी के लिए सुरक्षित रखता है $x,y\in R$, $d(x,y)=d^{\prime }(f(x),f(y)$