चेबीशेव दूरी

This article is about the finite-dimensional vector space distance. For the function space norm and metric, see uniform norm.

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

The discrete Chebyshev distance between two spaces on a chess board gives the minimum number of moves a king requires to move between them. This is because a king can move diagonally, so that the jumps to cover the smaller distance parallel to a rank or column is effectively absorbed into the jumps covering the larger. Above are the Chebyshev distances of each square from the square f6.

गणित में, चेबीशेव दूरी (या चेबीचेव दूरी), अधिकतम मीट्रिक, या एल_∞ मीट्रिक एक मीट्रिक (गणित) है जो एक सदिश स्थान पर परिभाषित होता है जहाँ दो निर्देशांक सदिशों के बीच की दूरी किसी भी निर्देशांक आयाम के साथ उनके अंतरों में सबसे बड़ी होती है। इसका नाम पफन्युटी चेबीशेव के नाम पर है।

इसे शतरंज की बिसात के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि शतरंज के खेल में एक राजा (शतरंज) को शतरंज की बिसात पर एक वर्ग से दूसरे वर्ग तक जाने के लिए आवश्यक चालों की न्यूनतम संख्या चौकों के केंद्रों के बीच चेबिशेव की दूरी के बराबर होती है, यदि वर्ग साइड की लंबाई एक है, जैसा कि 2-डी स्थानिक निर्देशांक में दर्शाया गया है, जिसमें बोर्ड के किनारों पर अक्ष संरेखित हैं। उदाहरण के लिए, f6 और e2 के बीच चेबिशेव की दूरी 4 के बराबर है।

परिभाषा

मानक निर्देशांक वाले दो सदिशों या बिंदुओं x और y के बीच की चेबीशेव दूरी $x_{i}$ और $y_{i}$, क्रमशः है

$D_{\rm {Chebyshev}}(x,y):=\max _{i}(|x_{i}-y_{i}|).\$

यह एलपी स्पेस|एल की सीमा के बराबर है_p मेट्रिक्स:

$\lim _{p\to \infty }{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p},$

इसलिए इसे एल के नाम से भी जाना जाता है_∞ मीट्रिक।

गणितीय रूप से, चेबीशेव दूरी एक मीट्रिक (गणित) है जो सर्वोच्च मानदंड या समान मानदंड से प्रेरित है। यह इंजेक्शन मीट्रिक स्थान का एक उदाहरण है।

दो आयामों में, यानी समतल ज्यामिति, यदि बिंदु p और q में कार्टेशियन निर्देशांक हैं $(x_{1},y_{1})$ और $(x_{2},y_{2})$, उनकी चेबीशेव दूरी है

$D_{\rm {Chebyshev}}=\max \left(\left|x_{2}-x_{1}\right|,\left|y_{2}-y_{1}\right|\right).$

इस मीट्रिक के तहत, त्रिज्या r का एक वृत्त, जो केंद्र बिंदु से चेबीशेव दूरी r के साथ बिंदुओं का समूह है, एक वर्ग है जिसकी भुजाओं की लंबाई 2r है और समन्वय अक्षों के समानांतर हैं।

एक शतरंज की बिसात पर, जहां एक निरंतर एक के बजाय एक असतत चेबिशेव दूरी का उपयोग कर रहा है, त्रिज्या r का चक्र भुजाओं की लंबाई 2r का एक वर्ग है, जो वर्गों के केंद्रों से मापता है, और इस प्रकार प्रत्येक पक्ष में 2r + 1 वर्ग होते हैं; उदाहरण के लिए, शतरंज की बिसात पर त्रिज्या 1 का वृत्त एक 3×3 वर्ग है।

गुण

एक आयाम में, सभी एल_p मेट्रिक्स समान हैं - वे केवल अंतर का निरपेक्ष मान हैं।

द्विविमीय मैनहटन दूरी में वृत्त होते हैं अर्थात वर्ग के रूप में स्तर सेट, लंबाई की भुजाओं के साथ √2r, समन्वय अक्षों के लिए π/4 (45°) के कोण पर उन्मुख है, इसलिए प्लानर चेबीशेव दूरी को रोटेशन और स्केलिंग द्वारा समतुल्य के रूप में देखा जा सकता है (यानी एक रैखिक परिवर्तन) प्लानर मैनहट्टन दूरी।

हालाँकि, एल के बीच यह ज्यामितीय तुल्यता₁ और मैं_∞ मीट्रिक उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं होती हैं. मीट्रिक के रूप में चेबीशेव दूरी का उपयोग करके बनाया गया एक गोला एक घन है जिसका प्रत्येक फलक समन्वय अक्षों में से एक के लंबवत होता है, लेकिन मैनहट्टन दूरी का उपयोग करके बनाया गया गोला एक अष्टफलक होता है: ये दोहरे पॉलीहेड्रा हैं, लेकिन घनक्षेत्र ्स के बीच, केवल वर्ग (और 1) -डायमेंशनल लाइन सेगमेंट) [[स्व-दोहरी पॉलीहेड्रा]] | सेल्फ-डुअल polytope ्स हैं। फिर भी, यह सच है कि सभी परिमित-आयामी स्थानों में L₁ और मैं_∞ मेट्रिक्स गणितीय रूप से एक दूसरे के दोहरे हैं।

एक ग्रिड पर (जैसे शतरंज की बिसात), एक बिंदु के 1 की चेबीशेव दूरी पर बिंदु उस बिंदु के मूर पड़ोस हैं।

चेबीशेव दूरी आदेश का सीमित मामला है-$p$ मिन्कोव्स्की दूरी, कब $p$ अनंत तक पहुँचता है।

अनुप्रयोग

गोदाम रसद में कभी-कभी चेबीशेव दूरी का उपयोग किया जाता है, क्योंकि यह प्रभावी ढंग से उस समय को मापता है जब एक ऊपरी भारोत्तोलन यंत्र किसी वस्तु को स्थानांतरित करने में लेता है (क्योंकि क्रेन एक ही समय में x और y अक्षों पर प्रत्येक अक्ष के साथ समान गति से चल सकती है)।

यह इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर सहायतायुक्त विनिर्माण में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है | कंप्यूटर-एडेड मैन्युफैक्चरिंग (CAM) एप्लिकेशन, विशेष रूप से, इनके लिए अनुकूलन एल्गोरिदम में। कई उपकरण, जैसे प्लॉटिंग या ड्रिलिंग मशीन, photoplotter , आदि, विमान में काम कर रहे हैं, आमतौर पर ओवरहेड क्रेन के समान x और y दिशाओं में दो मोटर्स द्वारा नियंत्रित होते हैं।

यह भी देखें

• राजा का ग्राफ
• समान मानदंड
• टैक्सीकैब ज्यामिति