ध्रुवीय अपघटन

गणित में, वर्ग वास्तविक संख्या या जटिल संख्या आव्यूह (गणित) का ध्रुवीय अपघटन $A$ प्रपत्र का आव्यूह अपघटन $A=UP$ है, जहाँ $U$ ऑर्थोगोनल आव्यूह है और $P$ सकारात्मक अर्ध-निश्चित सममित आव्यूह है ($U$ एकात्मक आव्यूह है और $P$ सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है, जटिल स्थिति में सकारात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन आव्यूह), वर्ग और समान आकार दोनों है।

सहज रूप से, यदि वास्तविक $n\times n$ आव्यूह $A$ की व्याख्या $n$-आयामी कार्तीय स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ के रैखिक परिवर्तन के रूप में व्याख्या की जाती है, तो ध्रुवीय अपघटन इसे $\mathbb {R} ^{n}$ के घूर्णन (ज्यामिति) या प्रतिबिंब (ज्यामिति) $U$ में अलग करता है, और $n$ ऑर्थोगोनल अक्षों के समुच्चय के साथ स्पेस का स्केलिंग (ज्यामिति) करता है।

वर्ग आव्यूह का ध्रुवीय अपघटन $A$ सदैव उपस्थित है। यदि $A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अपघटन अद्वितीय है, और कारक $P$ सकारात्मक-निश्चित आव्यूह होगा। उस स्थिति में, $A$ को अद्वितीय रूप से $A=Ue^{X}$ लिखा जा सकता है, जहाँ $U$ एकात्मक है और $X$ आव्यूह $P$ का अद्वितीय स्व-आसन्न लघुगणक है। यह अपघटन (आव्यूह) लाई समूह के मौलिक समूह की गणना करने में उपयोगी है।

ध्रुवीय अपघटन को $A=P'U$ के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ $P'=UPU^{-1}$ सममित धनात्मक-निश्चित आव्यूह है, जो $P$ के समान आइजनवैल्यू के साथ है, लेकिन अलग-अलग आइजनवेक्टर हैं।

आव्यूह के ध्रुवीय अपघटन को जटिल संख्या $z$ के ध्रुवीय रूप के आव्यूह एनालॉग के रूप में $z=ur$ के रूप में देखा जा सकता है, जहाँ $r$ इसका पूर्ण मान है (गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या), और $u$ इकाई मानदंड (वृत्त समूह का तत्व) के साथ सम्मिश्र संख्या है।

परिभाषा $A=UP$ को $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ में $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह होना और $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ सकारात्मक-अर्ध-परिमित हर्मिटियन आव्यूह होना। अपघटन सदैव उपस्थित रहता है और $P$ सदैव अद्वितीय होता है। आव्यूह $U$ अद्वितीय है यदि और केवल यदि $A$ के पास पूर्ण रैंक है।

सहज व्याख्या

वास्तविक वर्ग $m\times m$ आव्यूह $A$ की व्याख्या $\mathbb {R} ^{m}$ के रैखिक परिवर्तन के रूप में की जा सकती है जो स्तंभ सदिश $x$ को $Ax$ तक ले जाता है। फिर, ध्रुवीय अपघटन में $A=RP$, कारक $R$ एक $m\times m$ वास्तविक ऑर्थोनॉर्मल आव्यूह है। ध्रुवीय अपघटन को $A$ द्वारा परिभाषित रैखिक परिवर्तन को व्यक्त करने के रूप में देखा जा सकता है, जो स्पेस के $\mathbb {R} ^{m}$ स्केलिंग (ज्यामिति) $A$ के प्रत्येक आइजनवेक्टर $e_{i}$ के साथ पैमाना कारक $\sigma _{i}$ के स्केलिंग ($P$ की क्रिया) में व्यक्त करता है, जिसके बाद एकल घुमाव या $\mathbb {R} ^{m}$ प्रतिबिंब ($R$ की क्रिया) होता है।

वैकल्पिक रूप से, अपघटन $A=PR$ द्वारा परिभाषित परिवर्तन को $A$ रोटेशन के रूप में ($R$) स्केलिंग के बाद ($P$) कुछ ऑर्थोगोनल दिशाओं के साथ व्यक्त करता है। पैमाना कारक समान हैं, लेकिन दिशाएं अलग हैं।

गुण

जटिल संयुग्म का ध्रुवीय अपघटन $A$ द्वारा ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}$ दिया गया है। ध्यान दें कि

$$\det A=\det U\det P=e^{i\theta }r$$

A के निर्धारक के संगत ध्रुवीय अपघटन देता है, क्योंकि $\det U=e^{i\theta }$ और $detP=r=|$