ध्रुवीय अपघटन

गणित में, एक वर्ग वास्तविक संख्या या जटिल संख्या मैट्रिक्स (गणित) का ध्रुवीय अपघटन $A$ प्रपत्र का एक मैट्रिक्स अपघटन है $A=UP$, कहाँ $U$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है और $P$ एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित सममित मैट्रिक्स है ($U$ एक एकात्मक मैट्रिक्स है और $P$ एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स है | जटिल मामले में सकारात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन मैट्रिक्स), वर्ग और समान आकार दोनों। सहज रूप से, अगर एक वास्तविक $n\times n$ आव्यूह $A$ के रैखिक परिवर्तन के रूप में व्याख्या की जाती है $n$-आयामी कार्तीय स्थान $\mathbb {R} ^{n}$, ध्रुवीय अपघटन इसे घूर्णन (ज्यामिति) या प्रतिबिंब (ज्यामिति) में अलग करता है $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$, और एक सेट के साथ अंतरिक्ष का एक स्केलिंग (ज्यामिति)। $n$ ऑर्थोगोनल कुल्हाड़ियों।

एक वर्ग मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन $A$ हमेशा मौजूद है। अगर $A$ व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है, अपघटन अद्वितीय है, और कारक है $P$ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स होगा|सकारात्मक-निश्चित। उस मामले में, $A$ रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $A=Ue^{X}$, कहाँ $U$ एकात्मक है और $X$ मैट्रिक्स के एक मैट्रिक्स का अद्वितीय स्व-संलग्न लघुगणक है $P$. यह अपघटन (मैट्रिक्स) झूठ समूहों के मौलिक समूह की गणना करने में उपयोगी है। ध्रुवीय अपघटन को इस रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $A=P'U$ कहाँ $P'=UPU^{-1}$ के रूप में एक ही eigenvalues ​​​​के साथ एक सममित सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है $P$ लेकिन विभिन्न eigenvectors।

एक मैट्रिक्स के ध्रुवीय अपघटन को जटिल संख्या के मैट्रिक्स एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है#एक जटिल संख्या के ध्रुवीय रूप $z$ जैसा $z=ur$, कहाँ $r$ इसका पूर्ण मूल्य है # जटिल संख्याएं (एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या), और $u$ इकाई मानदंड (वृत्त समूह का एक तत्व) के साथ एक सम्मिश्र संख्या है।

मानहानि $A=UP$ आयताकार मेट्रिसेस तक बढ़ाया जा सकता है $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ आवश्यकता से $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ अर्ध-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स होना | सेमी-यूनिटरी मैट्रिक्स और $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ सकारात्मक-अर्ध-परिमित हर्मिटियन मैट्रिक्स होना। अपघटन हमेशा मौजूद है और $P$ हमेशा अनूठा होता है। गणित का सवाल $U$ अद्वितीय है अगर और केवल अगर $A$ पूरी रैंक है।

सहज व्याख्या

एक वास्तविक वर्ग $m\times m$ आव्यूह $A$ के रैखिक परिवर्तन के रूप में व्याख्या की जा सकती है $\mathbb {R} ^{m}$ जो एक कॉलम वेक्टर लेता है $x$ को $Ax$. फिर, ध्रुवीय अपघटन में $A=RP$, कारण $R$ एक $m\times m$ वास्तविक ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स। ध्रुवीय अपघटन तब द्वारा परिभाषित रैखिक परिवर्तन को व्यक्त करने के रूप में देखा जा सकता है $A$ अंतरिक्ष के स्केलिंग (ज्यामिति) में $\mathbb {R} ^{m}$ प्रत्येक eigenvector के साथ $e_{i}$ का $A$ पैमाने कारक द्वारा $\sigma _{i}$ (की क्रिया $P$), जिसके बाद एक ही घुमाव या प्रतिबिंब होता है $\mathbb {R} ^{m}$ (की क्रिया $R$).

वैकल्पिक रूप से, अपघटन $A=PR$ द्वारा परिभाषित परिवर्तन को व्यक्त करता है $A$ रोटेशन के रूप में ($R$) एक स्केलिंग के बाद ($P$) कुछ ऑर्थोगोनल दिशाओं के साथ। पैमाना कारक समान हैं, लेकिन दिशाएं अलग हैं।

गुण

जटिल संयुग्म का ध्रुवीय अपघटन $A$ द्वारा दिया गया है ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ ध्यान दें कि

$$\det A=\det U\det P=e^{i\theta }r$$

ए के निर्धारक के संगत ध्रुवीय अपघटन देता है, क्योंकि $\det U=e^{i\theta }$ और $detP=r=|det$