टाइट बाइंडिंग

ठोस अवस्था भौतिकी में, दृढ़ बंधन प्रतिरूप (या टीबी मॉडल/TB model) इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना के लिए एक दृष्टिकोण है, जो प्रत्येक परमाणु स्थल पर स्थित पृथक परमाणुओं के लिए तरंग कार्यों के अध्यारोपण के आधार पर तरंग कार्यों के अनुमानित सेट का उपयोग करते हैं। विधि रसायन विज्ञान में प्रयुक्त एलसीएओ (LCAO) विधि (परमाणु कक्षक विधि का रैखिक संयोजन) से निकटता से संबंधित है। दृढ़ बंधन प्रतिरूप विभिन्न प्रकार के ठोस पदार्थों पर लागू होते हैं। प्रतिरूप कई मामलों में अच्छे गुणात्मक परिणाम देता है और इसे अन्य मॉडलों के साथ जोड़ा जा सकता है जो बेहतर परिणाम देते हैं जहां दृढ़ बंधन प्रतिरूप विफल हो जाता है। हालांकि दृढ़ बंधन प्रतिरूप एक इलेक्ट्रॉन मॉडल है, यह मॉडल अधिक उन्नत गणनाओं के लिए एक आधार भी प्रदान करता है जैसे सतह की स्थिति की गणना और निकाय की कई समस्याओं और अर्ध-कण गणनाओं के लिए आवेदन।

परिचय

इस इलेक्ट्रॉनिक संघ संरचना प्रतिरूप के "दृढ़ बंधन प्रतिरूप" नाम से पता चलता है कि यह क्वांटम यांत्रिक स्वरूप ठोस में कसकर बंधे इलेक्ट्रॉनों के गुणों का वर्णन करता है। इस प्रतिरूप में इलेक्ट्रॉनों को उस परमाणु से कसकर बांधना चाहिए जिससे वे संबंधित हैं और ठोस के आस-पास के परमाणुओं पर स्थितियों और क्षमताओं के साथ उनकी सीमित बातचीत होनी चाहिए। परिणामस्वरूप, इलेक्ट्रॉन का तरंग कार्य मुक्त परमाणु के परमाणु कक्षीय के समान होगा, जिससे वह संबंधित है। इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा भी मुक्त परमाणु या आयन में इलेक्ट्रॉन की आयनीकरण ऊर्जा के काफी करीब होगी क्योंकि पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता और राज्यों के साथ बातचीत सीमित है।

हालांकि एक-कण दृढ़ बंधन का गणितीय सूत्रीकरण हैमिल्टनियन पहली नज़र में जटिल लग सकता है, मॉडल बिल्कुल भी जटिल नहीं है और इसे सहज रूप से काफी आसानी से समझा जा सकता है। केवल तीन प्रकार के आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व हैं जो सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उन तीन प्रकार के तत्वों में से दो को शून्य के करीब होना चाहिए और अक्सर उपेक्षित किया जा सकता है। मॉडल में सबसे महत्वपूर्ण तत्व अणु के बीच का आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्व हैं, जिसे केवल एक रसायन में बन्ध ऊर्जा कहा जाता हैं।

सामान्य तौर पर प्रतिरूप में शामिल परमाणु कक्षा के कई परमाणु ऊर्जा स्तर होते हैं। इससे जटिल बैंड की संरचनाएं हो सकती हैं क्योंकि कक्षा विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित होते हैं। पारस्परिक जाली और ब्रिलॉइन क्षेत्र अक्सर ठोस के क्रिस्टल की तुलना में एक अलग अंतरिक्ष समूह से संबंधित होते हैं। ब्रिलॉइन क्षेत्र में उच्च-समरूपता बिंदु विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित हैं। जब तत्वों या सरल यौगिकों की जाली जैसी सरल प्रणालियों का अध्ययन किया जाता है विश्लेषणात्मक रूप से उच्च-समरूपता बिंदुओं में आइजन स्थिति की गणना करना अक्सर बहुत मुश्किल नहीं होता है। इसलिए दृढ़ बंधन प्रतिरूप उन लोगों के लिए अच्छे उदाहरण प्रदान कर सकता है जो समूह सिद्धांत के बारे में अधिक जानना चाहते हैं।

दृढ़ बंधन प्रतिरूप का एक लंबा इतिहास रहा है और कई तरीकों से और कई अलग-अलग उद्देश्यों और विभिन्न परिणामों के साथ लागू किया गया है। प्रतिरूप अपने आप खड़ा नहीं होता है। प्रतिरूप के कुछ हिस्सों को अन्य प्रकार की गणनाओं और प्रतिरूपों द्वारा भरा या बढ़ाया जा सकता है लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन प्रतिरूप की तरह या इसके कुछ भाग, अन्य गणनाओं के आधार के रूप में काम कर सकते हैं। प्रवाहकीय पॉलिमर, कार्बनिक अर्धचालक और आणविक इलेक्ट्रॉनिक्स के अध्ययन में, उदाहरण के लिए, दृढ़ बंधन-जैसे प्रतिरूप लागू होते हैं जिसमें मूल अवधारणा में परमाणुओं की भूमिका को संयुग्मित प्रणालियों के आणविक कक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। और जहां अंतर-परमाणु आव्यूह (मैट्रिक्स) तत्वों को अंतर- या अंतरणु होपिंग और सुरंगन मापदंडों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इन सुचालकों में लगभग सभी में बहुत विषमदैशिक गुण होते हैं और कभी-कभी लगभग पूरी तरह से एक-आयामी होते हैं।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

1928 तक, आणविक कक्षीय के विचार को रॉबर्ट मुल्लिकेन द्वारा उन्नत किया गया था, जो फ्रेडरिक हुंड के काम से काफी प्रभावित थे। आणविक कक्षा के सन्निकटन के लिए LCAO विधि 1928 में बी. एन. फिंकलेस्टेइन और जी. ई. होरोविट्ज द्वारा पेश की गई थी, जबकि ठोस पदार्थों के लिए एलसीएओ (LCAO) पद्धति फेलिक्स बलोच द्वारा विकसित की गई थी, 1928 में अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में, जो समवर्ती रूप से एलसीएओ-एमओ (LCAO-MO) दृष्टिकोण के साथ और स्वतंत्र है। इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना का अनुमान लगाने के लिए एक बहुत ही सरल प्रक्षेप योजना, विशेष रूप से संक्रमण धातुओं के डी-बैंड के लिए, जॉन क्लार्क स्लेटर और जॉर्ज फ्रेड कोस्टर द्वारा 1954 में परिकल्पित पैरामीटरयुक्त दृढ़ बंधन मॉडल विधि है, कभी-कभी एसके दृढ़ बंधन विधि के रूप में जाना जाता है। SK दृढ़ बंधन विधि के साथ, एक ठोस आवश्यकता पर इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना मूल बलोच के प्रमेय की तरह पूरी कठोरता के साथ नहीं की जाती है। लेकिन, बल्कि, पहले-सिद्धांतों की गणना केवल उच्च-समरूपता बिंदुओं पर की जाती है और बैंड संरचना इन बिंदुओं के बीच शेष ब्रिलौइन क्षेत्र में प्रक्षेपित होती है।

इस दृष्टिकोण में, विभिन्न परमाणु साइटों के बीच बातचीत को गड़बड़ी माना जाता है। कई प्रकार के पारस्परिक क्रिया मौजूद हैं जिन पर हमें विचार करना चाहिए। क्रिस्टल हैमिल्टनियन केवल विभिन्न स्थलों पर स्थित परमाणु हैमिल्टन का योग है और परमाणु तरंग फलन क्रिस्टल में आसन्न परमाणु साइटों को अधिव्यापन करते हैं, और इसलिए सटीक तरंग फलन का सटीक प्रतिनिधित्व नहीं है। कुछ गणितीय व्यंजकों के साथ अगले भाग में और स्पष्टीकरण दिए गए हैं।

हाल के शोध में दृढ़ता से सहसंबद्ध सामग्री के बारे में दृढ़ बंधन दृष्टिकोण मूल सन्निकटन है क्योंकि अत्यधिक स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉन जैसे 3-डी संक्रमण धातु इलेक्ट्रॉन कभी-कभी दृढ़ता से सहसंबद्ध व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। इस मामले में, कई भौतिकी विवरण का उपयोग करके इलेक्ट्रॉन का इलेक्ट्रॉन संपर्क करने की भूमिका पर विचार किया जाना चाहिए।

दृढ़ बंधन प्रतिरूप का उपयोग आमतौर पर इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना के लिए किया जाता है और स्थिर शासन में बैंड अंतराल। हालांकि, अन्य तरीकों के संयोजन में जैसे कि यादृच्छिक चरण सन्निकटन (आरपीए) मॉडल, सिस्टम की गतिशील प्रतिक्रिया का भी अध्ययन किया जा सकता है।

गणितीय सूत्रीकरण

हम परमाणविक कक्षा का परिचय देते हैं $\varphi _{m}(\mathbf {r} )$, जो एक पृथक परमाणु के हैमिल्टनियन $H_{\rm {at}}$ के आइजनफंक्शन हैं। जब परमाणु को क्रिस्टल में रखा जाता है, तो यह परमाणु तरंग कार्य आसन्न परमाणु स्थलों को अधिव्यापन करता है, और इसलिए क्रिस्टल हैमिल्टनियन के सच्चे प्रतिजन कार्य नहीं हैं। जब इलेक्ट्रॉन कसकर बंधे होते हैं तो अधिव्यापन कम होता है, जो वर्णनकर्ता "दृढ़ बंधन" का स्रोत है। परमाणु क्षमता में कोई भी सुधार $\Delta U$ को सिस्टम के वास्तविक हैमिल्टनियन $H$ को प्राप्त करने के लिए आवश्यक है, को छोटा माना जाता है:

$H(\mathbf {r} )=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\sum _{\mathbf {R_{n}} \neq \mathbf {0} }V(\mathbf {r} -\mathbf {R_{n}} )=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\Delta U(\mathbf {r} )\ ,$

यहाँ पर $V(\mathbf {r} -\mathbf {R_{n}} )$ साइट पर स्थित एक परमाणु की परमाणु क्षमता को $\mathbf {R} _{n}$ दर्शाया गया है, क्रिस्टल जाली में एक समाधान $\psi _{m}$ समय-स्वतंत्र एकल इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण को परमाणु कक्षा के एक रैखिक संयोजन के रूप में अनुमानित किया गया है $\varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}} )$:

$\psi _{m}(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R_{n}} }b_{m}(\mathbf {R_{n}} )\ \varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}} )$,

यहाँ पर $m$ एम-टी परमाणु ऊर्जा स्तर को संदर्भित करता है।

अनुवादकीय समरूपता और सामान्यीकरण

बलोच प्रमेय के अनुसार एक क्रिस्टल में तरंग फलन केवल एक चरण कारक द्वारा अनुवाद के तहत बदल सकता है:

$\psi (\mathbf {r+R_{\ell }} )=e^{i\mathbf {k\cdot R_{\ell }} }\psi (\mathbf {r} )\ ,$

यहाँ पर $\mathbf {k}$ तरंग फलन का वेव सदिश (वेक्टर) है। परिणामस्वरूप, गुणांक संतुष्ट करते हैं

$\underset{{\mathbf{R}}_{\mathbf{n}}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{b}_m({\mathbf{R}}_{\mathbf{n}})$