टाइट बाइंडिंग

ठोस-राज्य भौतिकी में, तंग-बाध्यकारी मॉडल (या टीबी मॉडल) प्रत्येक परमाणु साइट पर स्थित पृथक परमाणुओं के लिए तरंग कार्यों के सुपरपोजिशन के आधार पर तरंग कार्यों के एक अनुमानित सेट का उपयोग करके इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना के लिए एक दृष्टिकोण है।विधि रसायन विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले LCAO विधि (परमाणु ऑर्बिटल्स विधि के रैखिक संयोजन) से निकटता से संबंधित है।तंग-बाध्यकारी मॉडल विभिन्न प्रकार के ठोस पदार्थों पर लागू होते हैं।मॉडल कई मामलों में अच्छे गुणात्मक परिणाम देता है और इसे अन्य मॉडलों के साथ जोड़ा जा सकता है जो बेहतर परिणाम देते हैं जहां तंग-बाध्यकारी मॉडल विफल हो जाता है।यद्यपि तंग-बाध्यकारी मॉडल एक-इलेक्ट्रॉन मॉडल है, लेकिन मॉडल सतह के राज्यों की गणना और विभिन्न प्रकार के कई शरीर की समस्याओं और क्वासिपार्टिकल गणना के लिए आवेदन जैसे अधिक उन्नत गणना के लिए एक आधार भी प्रदान करता है।

परिचय

इस इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना मॉडल के तंग बाइंडिंग नाम से पता चलता है कि यह क्वांटम मैकेनिकल मॉडल ठोस पदार्थों में कसकर बाध्य इलेक्ट्रॉनों के गुणों का वर्णन करता है।इस मॉडल में इलेक्ट्रॉनों को कसकर उस परमाणु के लिए बाध्य किया जाना चाहिए जिससे वे हैं और उन्हें ठोस के आसपास के परमाणुओं पर राज्यों और क्षमता के साथ सीमित बातचीत करनी चाहिए।नतीजतन, इलेक्ट्रॉन का तरंग फ़ंक्शन मुक्त परमाणु के परमाणु कक्षीय के समान होगा, जिसमें वह है।इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा भी मुक्त परमाणु या आयन में इलेक्ट्रॉन की आयनीकरण ऊर्जा के करीब होगी क्योंकि पड़ोसी परमाणुओं पर क्षमता और राज्यों के साथ बातचीत सीमित है।

हालांकि गणितीय सूत्रीकरण^[1] एक-कण तंग-बाध्यकारी हैमिल्टन में पहली नज़र में जटिल लग सकता है, मॉडल बिल्कुल भी जटिल नहीं है और इसे आसानी से आसानी से समझा जा सकता है। केवल #THE_TIGHT_BINDING_MATRIX_ELEMENTS हैं। तीन प्रकार के मैट्रिक्स तत्व जो सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उन तीन प्रकार के तत्वों में से दो शून्य के करीब होने चाहिए और अक्सर उपेक्षित हो सकते हैं। मॉडल में सबसे महत्वपूर्ण तत्व इंटरटोमिक मैट्रिक्स तत्व हैं, जिन्हें बस एक रसायनज्ञ द्वारा बॉन्ड एनर्जी कहा जाएगा।

सामान्य तौर पर मॉडल में शामिल परमाणु ऊर्जा स्तर और परमाणु ऑर्बिटल्स की संख्या होती है। यह जटिल बैंड संरचनाओं को जन्म दे सकता है क्योंकि ऑर्बिटल्स विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित हैं। पारस्परिक जाली और ब्रिलॉइन ज़ोन अक्सर ठोस के क्रिस्टल की तुलना में एक अलग अंतरिक्ष समूह से संबंधित होते हैं। ब्रिलोइन ज़ोन में उच्च-समरूपता बिंदु विभिन्न बिंदु-समूह अभ्यावेदन से संबंधित हैं। जब तत्वों या सरल यौगिकों के लैटिस जैसी सरल प्रणालियों का अध्ययन किया जाता है, तो उच्च-समरूपता बिंदुओं में विश्लेषणात्मक रूप से ईजेनस्टेट की गणना करना अक्सर बहुत मुश्किल नहीं होता है। तो तंग-बाध्यकारी मॉडल उन लोगों के लिए अच्छे उदाहरण प्रदान कर सकता है जो समूह सिद्धांत के बारे में अधिक जानना चाहते हैं।

तंग-बाध्यकारी मॉडल का एक लंबा इतिहास है और इसे कई तरीकों से और कई अलग-अलग उद्देश्यों और विभिन्न परिणामों के साथ लागू किया गया है। मॉडल अपने आप खड़ा नहीं है। मॉडल के कुछ हिस्सों को अन्य प्रकार की गणनाओं और लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल जैसे मॉडल द्वारा भरा या बढ़ाया जा सकता है। मॉडल स्वयं, या इसके कुछ हिस्सों, अन्य गणनाओं के आधार के रूप में काम कर सकते हैं।^[2] प्रवाहकीय पॉलिमर के अध्ययन में, कार्बनिक सेमीकंडक्टर्स और आणविक इलेक्ट्रॉनिक्स, उदाहरण के लिए, तंग-बाध्यकारी जैसे मॉडल लागू किए जाते हैं, जिसमें मूल अवधारणा में परमाणुओं की भूमिका को संयुग्मित प्रणालियों के आणविक कक्षाओं और जहां इंटरटॉमिक मैट्रिक्स तत्वों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता हैइंटर- या इंट्रामोल्युलर होपिंग और टनलिंग मापदंडों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।इन कंडक्टरों में लगभग सभी बहुत अनिसोट्रोपिक गुण होते हैं और कभी-कभी लगभग पूरी तरह से एक आयामी होते हैं।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

1928 तक, एक आणविक कक्षीय का विचार रॉबर्ट एस। मुलिकेन द्वारा उन्नत किया गया था। रॉबर्ट मुलिकेन, जो फ्रेडरिक हंड के काम से काफी प्रभावित थे।आणविक ऑर्बिटल्स को अनुमानित करने के लिए LCAO विधि को 1928 में बी। एन। फिंकलेस्टीन और जी। ई। होरोविट्ज़ द्वारा पेश किया गया था, जबकि 1928 में उनके डॉक्टरेट शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में, फेलिक्स ब्लोच द्वारा एलसीएओ विधि को फेलिक्स ब्लोच द्वारा विकसित किया गया था, जो कि एलसीओओ-एमओ दृष्टिकोण के स्वतंत्र और स्वतंत्र रूप से।इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना को अनुमानित करने के लिए एक बहुत सरल प्रक्षेप योजना, विशेष रूप से संक्रमण धातुओं के डी-बैंड के लिए, जॉन सी। स्लेटर द्वारा 1954 में कल्पना की गई तंग-बाध्यकारी विधि है। जॉन क्लार्क स्लेटर और जॉर्ज फ्रेड कोस्टर,^[1]कभी-कभी #TABLE_OF_INTERATOMIC_MATRIX_ELEMENTS | SK तंग-बाध्यकारी विधि के रूप में संदर्भित किया जाता है। एसके टाइट-बाइंडिंग विधि के साथ, एक ठोस पर इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना की गणना को मूल ब्लोच के प्रमेय के रूप में पूर्ण कठोरता के साथ नहीं किया जाता है, बल्कि, बल्कि, पहले-सिद्धांतों की गणना केवल उच्च समरूपता बिंदुओं और बैंड संरचना पर की जाती है। इन बिंदुओं के बीच Brillouin ज़ोन के शेष भाग पर प्रक्षेपित है।

इस दृष्टिकोण में, विभिन्न परमाणु साइटों के बीच बातचीत को गड़बड़ी के रूप में माना जाता है। कई प्रकार के इंटरैक्शन मौजूद हैं जिन पर हमें विचार करना चाहिए। क्रिस्टल हैमिल्टनियन केवल अलग -अलग साइटों पर स्थित परमाणु हैमिल्टनियन का एक योग है और परमाणु तरंग कार्यों को क्रिस्टल में आसन्न परमाणु साइटों को ओवरलैप करता है, और इसलिए सटीक तरंग फ़ंक्शन के सटीक प्रतिनिधित्व नहीं हैं। कुछ गणितीय अभिव्यक्तियों के साथ अगले भाग में और स्पष्टीकरण हैं।

दृढ़ता से सहसंबद्ध सामग्री के बारे में हाल के शोध में तंग बाध्यकारी दृष्टिकोण बुनियादी सन्निकटन है क्योंकि 3-डी संक्रमण धातु इलेक्ट्रॉनों जैसे अत्यधिक स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉन कभी-कभी दृढ़ता से सहसंबद्ध व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। इस मामले में, इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन इंटरैक्शन की भूमिका को कई-शरीर सिद्धांत का उपयोग करके माना जाना चाहिए। कई-बॉडी भौतिकी विवरण।

तंग-बाध्यकारी मॉडल का उपयोग आमतौर पर स्थिर शासन में इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना और बैंड अंतराल की गणना के लिए किया जाता है। हालांकि, यादृच्छिक चरण सन्निकटन (आरपीए) मॉडल जैसे अन्य तरीकों के साथ संयोजन में, सिस्टम की गतिशील प्रतिक्रिया का भी अध्ययन किया जा सकता है।

गणितीय सूत्रीकरण

हम परमाणु ऑर्बिटल्स का परिचय देते हैं $\varphi _{m}(\mathbf {r} )$ , जो हैमिल्टनियन के eigenfunctions हैं $H_{\rm {at}}$ एक एकल अलग -अलग परमाणु।जब परमाणु को एक क्रिस्टल में रखा जाता है, तो यह परमाणु तरंग फ़ंक्शन आसन्न परमाणु साइटों को ओवरलैप करता है, और इसलिए क्रिस्टल हैमिल्टनियन के सच्चे ईजेनफंक्शन नहीं हैं।ओवरलैप कम होता है जब इलेक्ट्रॉन कसकर बंधे होते हैं, जो कि डिस्क्रिप्टर तंग-बाध्यकारी का स्रोत है।परमाणु क्षमता के लिए कोई सुधार $\Delta U$ सही हैमिल्टन को प्राप्त करने के लिए आवश्यक है $H$ सिस्टम के, छोटे ग्रहण किए गए हैं:

H(\mathbf {r} )=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\sum _{\mathbf {R_{n}} \neq \mathbf {0} }V(\mathbf {r} -\mathbf {R_{n}} )=H_{\mathrm {at} }(\mathbf {r} )+\Delta U(\mathbf {r} )\ ,

कहाँ पे $V(\mathbf {r} -\mathbf {R_{n}} )$ साइट पर स्थित एक परमाणु की परमाणु क्षमता को दर्शाता है $\mathbf {R} _{n}$ क्रिस्टल जाली में।एक समाधान $\psi _{m}$ समय-स्वतंत्र एकल इलेक्ट्रॉन श्रोडिंगर समीकरण को परमाणु ऑर्बिटल्स के एक रैखिक संयोजन के रूप में अनुमानित किया गया है $\varphi _{m}(\mathbf {r-R_{n}} )$ :