भौगोलिक दूरी

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भौगोलिक दूरी या भूगणितीय दूरी पृथ्वी की सतह के साथ मापी गई दूरी है इस लेख के सूत्र अक्षांश और देशांतर दूरी के संदर्भ में भौगोलिक निर्देशांक द्वारा परिभाषित बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करते हैं यह दूसरी दूरी की भूगणितीय समस्या को हल करने के लिए मुख्य घटक है।

परिचय

भौगोलिक निर्देशांक के बीच की दूरी की गणना अमूर्तता के कुछ स्तर पर आधारित है यह शुद्ध दूरी नहीं प्रदान करता है जो पृथ्वी की सतह में प्रत्येक अनियमितता के स्पष्टीकरण के लिए प्रयास करने पर अप्राप्य है जो दो भौगोलिक बिंदुओं के बीच की सतह के लिए सामान्य अमूर्त हैं:

• समतल सतह
• गोलाकार सतह
• दीर्घवृत्ताकार सतह

ऊपर दी गई सभी अमूर्त ऊंचाई में परिवर्तन की उपेक्षा करते हैं और दूरियों की गणना जो आदर्श सतह की सापेक्ष ऊंचाई में परिवर्तन के कारण होती है जिसकी इस लेख में कोई भी चर्चा नहीं की गई है।

नामकरण

दूरी $D\,\!$ की गणना दो बिंदुओं $P_{1}\,\!$ और $P_{2}\,\!$ के बीच की जाती है दो बिंदुओं के भौगोलिक निर्देशांक (अक्षांश, देशांतर) जोड़े के रूप में क्रमश $(\phi _{1},\lambda _{1})\,\!$ और $(\phi _{2},\lambda _{2}),\,\!$ है दो बिंदुओं में से कौन सा $P_{1}\,\!$ दूरी की गणना के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।

मानचित्रों पर अक्षांश और देशांतर निर्देशांक सामान्यतः डिग्री में व्यक्त किए जाते हैं नीचे दिए गए सूत्रों के दिए गए रूपों में सही परिणाम प्राप्त करने के लिए निर्दिष्ट इकाइयों में एक या अधिक मान व्यक्त किए जाने चाहिए। जहां भौगोलिक निर्देशांक त्रिकोणमितीय फलन के तर्क के रूप में उपयोग किए जाते हैं त्रिकोणमितीय फलन के मान को निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के साथ संगत किसी भी कोणीय इकाइयों में मान व्यक्त किए जा सकते हैं कई इलेक्ट्रॉनिक गणना किसी भी डिग्री या रेडियन में त्रिकोणमितीय फलनों की गणना की स्वीकृति देते हैं इलेक्ट्रॉनिक गणना को ज्यामितीय निर्देशांकों के लिए उपयोग की जाने वाली इकाइयों के साथ संगत होना चाहिए।

अक्षांश और देशांतर में अंतर की निम्नानुसार गणना की जाती है:

${\begin{aligned}\Delta \phi &=\phi _{2}-\phi _{1};\\\Delta \lambda &=\lambda _{2}-\lambda _{1}.\end{aligned}}\,\!$

यह महत्वपूर्ण नहीं है कि नीचे दिए गए सूत्रों में उपयोग किए जाने पर परिणाम धनात्मक या ऋणात्मक है माध्य अक्षांश को निम्न प्रकार से वर्गीकृत किया जाता है:

$\phi _{m}={\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}.\,\!$

कोलैटिट्यूड (कोटिकशर) की निम्नानुसार गणना की जाती है:

• रेडियन में व्यक्त अक्षांशों के लिए:

$\theta ={\frac {\pi }{2}}-\phi \,\!$

• डिग्री में व्यक्त अक्षांशों के लिए जब तक $\theta =90^{\circ }-\phi \,\!$ निर्दिष्ट न हो तब तक नीचे की गणना के लिए पृथ्वी की त्रिज्या है:

$R\,\!$ = 6,371.009 किलोमीटर = 3,958.761 मानक मील = 3,440.069 समुद्री मील

$D_{\,}\!$ = दो बिंदुओं के बीच की दूरी, जैसा कि पृथ्वी की सतह के साथ मापा जाता है और त्रिज्या के लिए उपयोग किए गए मान के समान इकाइयों में जब तक कि $\theta =90^{\circ }-\phi \,\!$ निर्दिष्ट न हो।

अक्षांश/देशांतर की विलक्षणताएं और असंततता

देशांतर में भौगोलिक ध्रुवों पर गणितीय विलक्षणता अपरिभाषित होती है और ±180° मध्याह्न रेखा पर एक निरंतरता होती है। साथ ही, ध्रुवों के निकट स्थिर अक्षांश के वृत्तों के तलीय प्रक्षेपण अत्यधिक वृत्ताकार होते हैं इसलिए, डेल्टा अक्षांश/देशांतर ($\Delta \phi \!$, $\Delta \lambda \!$) और औसत अक्षांश $\phi _{m}\!$ के लिए उपरोक्त समीकरण ध्रुवों या ±180° मध्याह्न के पास की स्थितियों के लिए अपेक्षित उत्तर नहीं दे सकते हैं उदाहरण पर विचार करें कि $\Delta \lambda \!$ (पूर्व विस्थापन) का मान जब $\lambda _{1}\!$ और $\lambda _{2}\!$ ±180° मध्याह्न के दोनों ओर होता हैं तब $\phi _{m}\!$ का मान (अर्थात अक्षांश) दो स्थितियों के लिए ($\phi _{1}\!$=89°, $\lambda _{1}\!$=45°) और ($\phi _{2}\!$=89°, $\lambda _{2}\!$=−135°) होता है।

यदि अक्षांश/देशांतर पर आधारित गणना पृथ्वी की सभी स्थितियों के लिए मान्य होती है तब यह सत्यापित किया जा सकता है कि विच्छिन्नता और ध्रुवों को अपेक्षाकृत रूप से नियंत्रित किया गया है एक अन्य समाधान अक्षांश/देशांतर के अतिरिक्त N-सदिश का उपयोग करना है क्योंकि इस प्रतिनिधित्व में कोई निरंतरता या विशिष्टता नहीं होती है।

समतल-सतह सूत्र

पृथ्वी की सतह के लिए समतल सन्निकटन छोटी दूरियों के लिए उपयोगी हो सकता है इस सन्निकटन का उपयोग करने से दूरी की गणना की शुद्धता गलत हो जाती है:

• बिंदुओं के बीच की दूरी अधिक हो जाती है।
• बिंदु एक भौगोलिक ध्रुव के निकट हो जाता है।

समतल में दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक रेखा होती है पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग समतल में बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए किया जाता है कम दूरी पर भी, भौगोलिक दूरी की गणनाओं की शुद्धता जो एक समतल पृथ्वी को स्वीकृत करती है यह उस विधि पर निर्भर करती है जिसके द्वारा अक्षांश और देशांतर निर्देशांक का समतल पर मानचित्र प्रक्षेपण किया गया है अक्षांश और देशांतर का प्रक्षेपण एक समतल निर्देशांक पर होता है जो एक मानचित्र विज्ञान क्षेत्र है।

इस क्षेत्र में प्रस्तुत सूत्र शुद्धता की अलग-अलग डिग्री प्रदान करते हैं।

समतल के लिए प्रक्षेपित गोलाकार पृथ्वी

यह सूत्र अक्षांश के साथ मध्याह्न के बीच की दूरी में भिन्नता को ध्यान में रखता है:

$D=R{\sqrt {(\Delta \phi )^{2}+(\cos(\phi _{m})\Delta \lambda )^{2}}},$

जहाँ:

$\Delta \phi \,\!$ और $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$