अपरिवर्तनीय मापन

गणित में, एक अपरिवर्तनीय माप एक माप (गणित) है जिसे कुछ फ़ंक्शन (गणित) द्वारा संरक्षित किया जाता है। समारोह एक ज्यामितीय परिवर्तन हो सकता है। उदाहरण के लिए, रोटेशन के तहत कोण अपरिवर्तनीय है, निचोड़ मैपिंग के तहत हाइपरबॉलिक कोण अपरिवर्तनीय है, और ढलानों का अंतर कतरनी मैपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है। एर्गोडिक सिद्धांत गतिशील प्रणालियों में अपरिवर्तनीय उपायों का अध्ययन है। क्रायलोव-बोगोलीबॉव प्रमेय विचाराधीन कार्य और स्थान पर कुछ शर्तों के तहत अपरिवर्तनीय उपायों के अस्तित्व को साबित करता है।

परिभाषा

होने देना $(X,\Sigma )$ एक औसत दर्जे का स्थान हो और चलो $f:X\to X$ से एक औसत दर्जे का कार्य हो $X$ खुद को। एक नाप $\mu$ पर $(X,\Sigma )$ के तहत अपरिवर्तनीय कहा जाता है $f$ यदि, प्रत्येक मापने योग्य सेट के लिए $A$ में $\Sigma ,$

$$\mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A).$$

पुशफॉरवर्ड माप के संदर्भ में, यह बताता है कि $f_{*}(\mu )=\mu .$ उपायों का संग्रह (आमतौर पर संभाव्यता उपाय)। $X$ जिसके तहत अपरिवर्तनीय हैं $f$ कभी-कभी निरूपित किया जाता है $M_{f}(X).$ एर्गोडिक (विशेषण) का संग्रह, $E_{f}(X),$ का उपसमुच्चय है $M_{f}(X).$ इसके अलावा, दो अपरिवर्तनीय उपायों का उत्तल संयोजन भी अपरिवर्तनीय है, इसलिए $M_{f}(X)$ एक उत्तल सेट है; $E_{f}(X)$ के चरम बिंदुओं से मिलकर बनता है $M_{f}(X).$ एक गतिशील प्रणाली (परिभाषा) के मामले में $(X,T,\varphi ),$ कहाँ $(X,\Sigma )$ पहले की तरह एक मापने योग्य स्थान है, $T$ एक मोनोइड है और $\varphi :T\times X\to X$ प्रवाह मानचित्र है, एक उपाय है $\mu$ पर $(X,\Sigma )$ यदि यह प्रत्येक मानचित्र के लिए एक अपरिवर्तनीय माप है, तो इसे एक अपरिवर्तनीय माप कहा जाता है $\varphi _{t}:X\to X.$ स्पष्ट रूप से, $\mu$ अपरिवर्तनीय है अगर और केवल अगर

$$\mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{ for all }}t\in T,A\in \Sigma .$$

दूसरे तरीके से रखें, $\mu$ यादृच्छिक चर के अनुक्रम के लिए एक अपरिवर्तनीय उपाय है $\left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}$ (शायद एक मार्कोव श्रृंखला या एक स्टोकास्टिक अंतर समीकरण का समाधान) यदि, जब भी प्रारंभिक स्थिति $Z_{0}$ अनुसार बांटा गया है $\mu ,$ ऐसा ही है $Z_{t}$ किसी भी बाद के समय के लिए $t.$ जब डायनेमिक सिस्टम को एक ट्रांसफर ऑपरेटर द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो अपरिवर्तनीय माप ऑपरेटर का एक ईजेनवेक्टर होता है, जो कि एक आइगेनवेल्यू के अनुरूप होता है। $1,$ यह फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय द्वारा दिया गया सबसे बड़ा ईगेनवैल्यू है।

उदाहरण

स्क्वीज़ मैपिंग हाइपरबोलिक कोण को अपरिवर्तित छोड़ देता है क्योंकि यह अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र (बैंगनी) को उसी क्षेत्र में से एक में ले जाता है। नीले और हरे आयत भी समान क्षेत्रफल रखते हैं

* वास्तविक रेखा पर विचार करें $\mathbb {R}$ अपने सामान्य बोरेल सिग्मा बीजगणित के साथ|बोरेल σ-बीजगणित; हल करना $a\in \mathbb {R}$ और अनुवाद मानचित्र पर विचार करें $T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ द्वारा दिए गए:

$$T_{a}(x)=x+a.$$

फिर एक आयामी Lebesgue उपाय $\lambda$ के लिए एक अपरिवर्तनीय उपाय है $T_{a}.$

• अधिक आम तौर पर, पर $n$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{n}$ अपने सामान्य बोरेल σ-बीजगणित के साथ, $n$-आयामी लेबेस्गु माप $\lambda ^{n}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के किसी भी आइसोमेट्री के लिए एक अपरिवर्तनीय उपाय है, जो कि एक नक्शा है $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है
  $$T(x)=Ax+b$$
  कुछ के लिए $n\times n$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स $A\in O(n)$ और एक वेक्टर $b\in \mathbb {R} ^{n}.$
• पहले उदाहरण में अपरिवर्तनीय माप एक स्थिर कारक के साथ तुच्छ पुनर्संरचना तक अद्वितीय है। यह आवश्यक रूप से मामला नहीं है: केवल दो बिंदुओं वाले सेट पर विचार करें $\mathbf {S} =\{A,B\}$ और पहचान मानचित्र $T=\operatorname {Id}$ जो प्रत्येक बिंदु को स्थिर छोड़ देता है। फिर कोई संभाव्यता उपाय $\mu :\mathbf {S} \to \mathbb {R}$ अपरिवर्तनीय है। ध्यान दें कि $\mathbf {S}$ तुच्छ रूप से एक अपघटन है $T$-अपरिवर्तनीय घटक $\{A\}$ और $\{B\}.$
• यूक्लिडियन तल में क्षेत्र माप विशेष रेखीय समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ की $2\times 2$ निर्धारक का वास्तविक मैट्रिक्स $1.$
• प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह में एक हार उपाय होता है जो समूह क्रिया के तहत अपरिवर्तनीय होता है।

यह भी देखें

• Quasi-invariant measure

संदर्भ

• John von Neumann (1999) Invariant measures, American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-0912-9