बिंघम प्लास्टिक

मेयोनेज़ एक बिंघम प्लास्टिक है। सतह में लकीरें और चोटियाँ हैं क्योंकि बिंगहैम प्लास्टिक कम कतरनी तनाव के तहत ठोस पदार्थों की नकल करता है।

पदार्थ विज्ञान में, एक बिंघम प्लास्टिक एक श्यानसुघट्य पदार्थ है जो कम तनाव पर एक दृढ़ पिंड के रूप में व्यवहार करती है लेकिन उच्च तनाव पर एक श्यान तरल के रूप में बहती है। इसका नाम यूजीन सी. बिंघम के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसका गणितीय रूप प्रस्तावित किया था।

यह प्रवेधन इंजीनियरी में पंक प्रवाह के सामान्य गणितीय निदर्श के रूप में और घोल प्रहस्तन में प्रयोग किया जाता है। एक सामान्य उदाहरण दंतमंजन है, जो नाल पर एक निश्चित दबाव लागू होने तक बाहर नहीं निकलेगा। इसके बाद इसे अपेक्षाकृत सुसंगत प्लग के रूप में बाहर धकेल दिया जाता है।

स्पष्टीकरण

चित्रा 1. बिंघम द्वारा वर्णित बिंघम प्लास्टिक प्रवाह

चित्र 1 लाल रंग में एक साधारण चिपचिपे (या न्यूटोनियन) द्रव के व्यवहार का एक ग्राफ दिखाता है, उदाहरण के लिए एक पाइप में। यदि एक पाइप के एक छोर पर दबाव बढ़ जाता है तो यह तरल पदार्थ पर दबाव पैदा करता है जो इसे स्थानांतरित करने के लिए प्रवृत्त होता है (जिसे कतरनी तनाव कहा जाता है) और वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर आनुपातिक रूप से बढ़ जाती है। हालाँकि, बिंगहैम प्लास्टिक तरल पदार्थ (नीले रंग में) के लिए, तनाव लागू किया जा सकता है लेकिन यह तब तक प्रवाहित नहीं होगा जब तक कि एक निश्चित मान, यील्ड तनाव, पहुँच नहीं जाता। इस बिंदु से परे बढ़ते कतरनी तनाव के साथ प्रवाह दर लगातार बढ़ जाती है। पेंट्स के एक प्रायोगिक अध्ययन में बिंगहैम ने मोटे तौर पर इसी तरह से अपना अवलोकन प्रस्तुत किया। ये गुण बिंगहैम प्लास्टिक को न्यूटोनियन द्रव पदार्थ जैसी सुविधाहीन सतह के बजाय चोटियों और लकीरों के साथ बनावट वाली सतह की अनुमति देते हैं।

चित्रा 2. वर्तमान में वर्णित बिंघम प्लास्टिक प्रवाह

चित्रा 2 उस तरीके को दिखाता है जिसमें इसे वर्तमान में सामान्य रूप से प्रस्तुत किया जाता है।ग्राफ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर कतरनी तनाव और क्षैतिज एक पर कतरनी दर दिखाता है। (वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर पाइप के आकार पर निर्भर करती है, कतरनी दर एक उपाय है कि दूरी के साथ वेग कैसे बदलता है। यह प्रवाह दर के समानुपाती होता है, लेकिन पाइप के आकार पर निर्भर नहीं करता है।) पहले की तरह, न्यूटोनियन द्रव प्रवाहित होता है और देता है कतरनी तनाव के किसी भी परिमित मूल्य के लिए कतरनी दर। हालांकि, बिंगहैम प्लास्टिक फिर से कोई कतरनी दर (कोई प्रवाह नहीं और इस प्रकार कोई वेग नहीं) प्रदर्शित नहीं करता है जब तक कि एक निश्चित तनाव हासिल नहीं हो जाता। न्यूटोनियन द्रव के लिए इस रेखा का ढलान चिपचिपापन है, जो इसके प्रवाह का वर्णन करने के लिए आवश्यक एकमात्र पैरामीटर है। इसके विपरीत, बिंघम प्लास्टिक को दो मापदंडों की आवश्यकता होती है, उपज तनाव और रेखा का ढलान, जिसे प्लास्टिक की चिपचिपाहट के रूप में जाना जाता है।

इस व्यवहार का भौतिक कारण यह है कि तरल में कण (जैसे मिट्टी) या बड़े अणु (जैसे पॉलिमर) होते हैं, जिनमें किसी प्रकार की परस्पर क्रिया होती है, जिससे एक कमजोर ठोस संरचना बनती है, जिसे पहले एक नकली शरीर के रूप में जाना जाता था, और एक निश्चित मात्रा में इस ढाँचे को तोड़ने के लिए तनाव की आवश्यकता होती है। एक बार जब संरचना टूट जाती है, तो कण चिपचिपा बल के तहत तरल के साथ चलते हैं। यदि तनाव हटा दिया जाता है, तो कण फिर से जुड़ जाते हैं।

परिभाषा

सामग्री कतरनी तनाव के लिए एक लोचदार ठोस है $\tau$, एक महत्वपूर्ण मूल्य से कम $\tau _{0}$. एक बार महत्वपूर्ण कतरनी तनाव (या उपज (इंजीनियरिंग)) पार हो जाने पर, सामग्री इस तरह से बहती है कि कतरनी दर, ∂u/∂y (जैसा कि चिपचिपाहट में परिभाषित किया गया है), उस राशि के सीधे आनुपातिक है जिसके द्वारा लागू किया गया कतरनी तनाव उपज तनाव से अधिक है:

${\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\{\frac {\tau -\tau _{0}}{\mu _{\infty }}},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}$

घर्षण कारक सूत्र

द्रव प्रवाह में, स्थापित पाइपिंग नेटवर्क में दबाव ड्रॉप की गणना करना एक आम समस्या है। एक बार घर्षण कारक, f ज्ञात हो जाने पर, विभिन्न पाइप-प्रवाह समस्याओं को संभालना आसान हो जाता है, जैसे। पंपिंग लागत का मूल्यांकन करने के लिए दबाव ड्रॉप की गणना करना या किसी दिए गए दबाव ड्रॉप के लिए पाइपिंग नेटवर्क में प्रवाह-दर का पता लगाना। आमतौर पर गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थों के प्रवाह से जुड़े घर्षण कारक की गणना करने के लिए सटीक विश्लेषणात्मक समाधान पर पहुंचना बेहद मुश्किल होता है और इसलिए इसकी गणना के लिए स्पष्ट अनुमानों का उपयोग किया जाता है। एक बार घर्षण कारक की गणना हो जाने के बाद डार्सी-वीसबैक समीकरण द्वारा दिए गए प्रवाह के लिए दबाव ड्रॉप को आसानी से निर्धारित किया जा सकता है:

$f={2h_{\text{f}}gD \over LV^{2}}$

कहाँ:

• $f$ डार्सी घर्षण कारक है (एसआई इकाइयां: आयाम रहित)
• $h_{\text{f}}$ घर्षण शीर्ष हानि है (एसआई इकाइयां: एम)
• $g$ गुरुत्वीय त्वरण है (SI इकाई: m/s²)
• $D$ पाइप व्यास है (एसआई इकाइयां: मीटर)
• $L$ पाइप की लंबाई है (एसआई इकाइयां: मीटर)
• $V$ औसत द्रव वेग है (SI इकाइयाँ: m/s)

लामिनार प्रवाह

पूरी तरह से विकसित लैमिनार पाइप प्रवाह में बिंघम प्लास्टिक के लिए घर्षण हानि का सटीक विवरण पहले बकिंघम द्वारा प्रकाशित किया गया था। उनकी अभिव्यक्ति, बकिंघम-रेनर समीकरण, को आयाम रहित रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$f_{\text{L}}={64 \over \operatorname {Re} }\left[1+{\operatorname {He} \over 6\operatorname {Re} }-{64 \over 3}\left({\operatorname {He} ^{4} \over f^{3}\operatorname {Re} ^{7}}\right)\right]$

कहाँ:

• $f_{\text{L}}$ लामिना का प्रवाह डार्सी घर्षण कारक है (SI इकाइयाँ: आयाम रहित)
• $\operatorname {Re}$ रेनॉल्ड्स संख्या है (एसआई इकाइयां: आयामहीन)
• $\operatorname {He}$ हेडस्ट्रॉम संख्या है (एसआई इकाइयां: आयामहीन)

रेनॉल्ड्स संख्या और हेडस्ट्रॉम संख्या को क्रमशः परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {Re} ={\rho VD \over \mu },$ और

$\operatorname {He} ={\rho D^{2}\tau _{o} \over \mu ^{2}}$

कहाँ:

• $\rho$ तरल पदार्थ का द्रव्यमान घनत्व है (एसआई इकाइयां: किलो/मीटर³)
• $\mu$ द्रव की गतिशील चिपचिपाहट है (SI इकाइयाँ: kg/m s)
• $\tau _{o}$ द्रव का उपज बिंदु (उपज शक्ति) है (SI इकाइयाँ: Pa)

अशांत प्रवाह

डार्बी और मेलसन ने एक अनुभवजन्य अभिव्यक्ति विकसित की वह तब परिष्कृत किया गया था, और इसके द्वारा दिया गया है:

$f_{\text{T}}=4\times 10^{a}\operatorname {Re} ^{-0.193}$

कहाँ:

• $f_{\text{T}}$ अशांत प्रवाह घर्षण कारक है (एसआई इकाइयां: आयामहीन)
• $a=-1.47\left[1+0.146e^{-2.9\times {10^{-5}}\operatorname {He} }\right]$

नोट: डार्बी और मेलसन की अभिव्यक्ति फैनिंग घर्षण कारक के लिए है, और इस पृष्ठ पर कहीं और स्थित घर्षण हानि समीकरणों में उपयोग करने के लिए इसे 4 से गुणा करने की आवश्यकता है।

बकिंघम-रेनर समीकरण का अनुमान

हालांकि बकिंघम-रेनर समीकरण का एक सटीक विश्लेषणात्मक समाधान प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि यह एफ में चौथा क्रम बहुपद समीकरण है, समाधान की जटिलता के कारण यह शायद ही कभी नियोजित होता है। इसलिए, शोधकर्ताओं ने बकिंघम-रेनर समीकरण के लिए स्पष्ट सन्निकटन विकसित करने का प्रयास किया है।

स्वामी–अग्रवाल समीकरण

स्वामी-अग्रवाल समीकरण का उपयोग बिंघम प्लास्टिक तरल पदार्थ के लामिनार प्रवाह के लिए डार्सी-वीसबैक घर्षण कारक एफ के लिए सीधे हल करने के लिए किया जाता है। यह अन्तर्निहित बकिंघम-रेनर समीकरण का एक अनुमान है, लेकिन प्रयोगात्मक डेटा से विसंगति डेटा की सटीकता के भीतर है। स्वामी-अग्रवाल समीकरण द्वारा दिया गया है:

$f_{L}={64 \over \mathrm {Re} }+{64 \over \mathrm {Re} }\left({\mathrm {He} \over 6.2218\mathrm {Re} }\right)^{0.958}$

दानिश-कुमार समाधान

डेनिश एट अल। एडोमियन अपघटन विधि का उपयोग करके घर्षण कारक f की गणना करने के लिए एक स्पष्ट प्रक्रिया प्रदान की है। इस विधि के माध्यम से दो शब्दों वाले घर्षण कारक को इस प्रकार दिया गया है:

$f_{L}={\frac {K_{1}+{\dfrac {4K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{3}}}}{1+{\dfrac {3K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{4}}}}}$

कहाँ

$K_{1}={16 \over \mathrm {Re} }+{16\mathrm {He} \over 6\mathrm {Re} ^{2}},$

और

$K_{2}=-{16\mathrm {He} ^{4} \over 3\mathrm {Re} ^{8}}.$

सभी प्रवाह व्यवस्थाओं के लिए घर्षण कारक के लिए संयुक्त समीकरण

डार्बी-मेलसन समीकरण

1981 में, डार्बी और मेलसन ने चर्चिल के दृष्टिकोण का उपयोग किया और चर्चिल और उसगी की, सभी प्रवाह व्यवस्थाओं के लिए मान्य एकल घर्षण कारक समीकरण प्राप्त करने के लिए एक अभिव्यक्ति विकसित की:

$f=\left[{f_{\text{L}}}^{m}+{f_{\text{T}}}^{m}\right]^{\frac {1}{m}}$

कहाँ:

$m=1.7+{40000 \over \operatorname {Re} }$

स्वामी-अग्रवाल समीकरण और डार्बी-मेलसन समीकरण दोनों को किसी भी शासन में बिंघम प्लास्टिक तरल पदार्थ के घर्षण कारक को निर्धारित करने के लिए एक स्पष्ट समीकरण देने के लिए जोड़ा जा सकता है। सापेक्ष खुरदरापन किसी भी समीकरण में एक पैरामीटर नहीं है क्योंकि बिंघम प्लास्टिक तरल पदार्थ का घर्षण कारक पाइप खुरदरापन के प्रति संवेदनशील नहीं है।

यह भी देखें

• बैगनॉल्ड नंबर
• बरनौली का सिद्धांत
• विंघम-पपनास्तसियो मोटल
• रियोलॉजी
• शिअर थिनिंग