मल्टीस्लाइस

मल्टीस्लाइस एल्गोरिदम पदार्थ के साथ एक इलेक्ट्रॉन बीम की प्रत्यास्थ अन्योन्यक्रिया के अनुकरण के लिए एक विधि है, जिसमें सभी विभिन्न प्रकीर्णन प्रभाव सम्मिलित हैं। काउली द्वारा पुस्तक में विधि की समीक्षा की गई है। एल्गोरिदम का उपयोग उच्च विभेदन संचरण इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी सूक्ष्मचित्र के अनुकरण में किया जाता है, और प्रायोगिक प्रतिरूपों के विश्लेषण के लिए एक उपयोगी उपकरण के रूप में कार्य करता है। यहां हम प्रासंगिक पार्श्व की जानकारी, तकनीक के सैद्धांतिक आधार, उपयोग किए गए सन्निकटन और इस तकनीक को लागू करने वाले कई सॉफ्टवेयर पैकेजों का वर्णन करते हैं। इसके अतिरिक्त, हम तकनीक के कुछ लाभों और सीमाओं और महत्वपूर्ण विचारों को चित्रित करते हैं जिन्हें वास्तविक संसार के उपयोग के लिए ध्यान में रखा जाना चाहिए।

पार्श्व

मल्टीस्लाइस विधि ने इलेक्ट्रॉन क्रिस्टलिकी में व्यापक अनुप्रयोग पाया है। एक क्रिस्टल संरचना से इसके प्रतिरूप या विवर्तन प्रतिरूप के प्रतिचित्रण को अपेक्षाकृत ठीक रूप से समझा और प्रलेखित किया गया है। यद्यपि, इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मचित्र प्रतिरूपों से क्रिस्टल संरचना तक विपरीत प्रतिचित्रण सामान्यतः अधिक जटिल होती है। तथ्य यह है कि प्रतिरूपों त्रि-आयामी क्रिस्टल संरचना के द्वि-आयामी अनुमान हैं, इन अनुमानों की तुलना सभी संभावित क्रिस्टल संरचनाओं से करना नीरस बनाता है। इसलिए, विभिन्न क्रिस्टल संरचना के परिणामों के अनुकरण में संख्यात्मक तकनीकों का उपयोग इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी और क्रिस्टलिकी के क्षेत्र का अभिन्न अंग है। इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मचित्र का अनुकरण करने के लिए कई सॉफ्टवेयर पैकेज स्थित हैं।

साहित्य में स्थित दो व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली अनुकार तकनीकें हैं: हंस बेथे के डेविसन-जर्मर प्रयोग के मूल सैद्धांतिक उपचार से प्राप्त ब्लॉख तरंग विधि और मल्टीस्लाइस विधि। इस पत्र में, हम मुख्य रूप से विवर्तन प्रतिरूप के अनुकरण के लिए मल्टीस्लाइस विधि पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जिसमें कई प्रत्यास्थ प्रकीर्णन प्रभाव सम्मिलित हैं। स्थित अधिकांश पैकेज इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी प्रतिरूप और पता अभिमुखता जैसे चरण विपरीत और विवर्तन विपरीत को निर्धारित करने के लिए इलेक्ट्रॉन लेंस विपथन प्रभाव को सम्मिलित करने के लिए फूरियर विश्लेषण के साथ मल्टीस्लाइस एल्गोरिदम को लागू करते हैं। संचरण ज्यामिति में एक पतली क्रिस्टलीय खंड के रूप में इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी के प्रतिदर्शों के लिए, इन सॉफ्टवेयर पैकेजों का उद्देश्य क्रिस्टल क्षमता का एक प्रतिचित्र प्रदान करना है, यद्यपि यह विपरीत प्रक्रिया कई प्रत्यास्थ प्रकीर्णन की उपस्थिति से बहुत जटिल है।

मल्टीस्लाइस सिद्धांत के रूप में जाना जाने वाला पहला विवरण काउली और मूडी द्वारा उत्कृष्ट लेख में दिया गया था। इस कार्य में, लेखक क्वांटम यांत्रिक तर्कों को लागू किए बिना भौतिक प्रकाशिकी दृष्टिकोण का उपयोग करके इलेक्ट्रॉनों के प्रकीर्णन का वर्णन करते हैं। इन पुनरावृत्त समीकरणों के कई अन्य व्युत्पन्न तब से वैकल्पिक विधियों का उपयोग करके दिए गए हैं, जैसे कि ग्रीन्स प्रकार्य, अवकल समीकरण, प्रकीर्णन आव्यूह या पाथ समाकल विधि।

संख्यात्मक संगणना के लिए काउली और मूडी के मल्टीस्लाइस सिद्धांत से एक कंप्यूटर एल्गोरिदम के विकास का सारांश गुडमैन और मूडी द्वारा रिपोर्ट किया गया था। उन्होंने मल्टीस्लाइस के अन्य योगों के संबंध पर भी विस्तार से चर्चा की। विशेष रूप से, ज़सेनहॉस के प्रमेय का उपयोग करते हुए, यह लेख मल्टीस्लाइस से 1. श्रोएडिंगर्स समीकरण (मल्टीस्लाइस से व्युत्पन्न), 2. डार्विन के डिफरेंशियल इक्वेशन, व्यापक रूप से विवर्तन कंट्रास्ट टीईएम इमेज अनुकार के लिए उपयोग किया जाता है - मल्टीस्लाइस से प्राप्त हॉवी-व्हेलन समीकरण . 3. स्टर्की की प्रकीर्णन आव्यूह विधि। 4. मुक्त स्थान प्रसार स्थिति , 5. चरण ग्रेटिंग सन्निकटन, 6. एक नवीन ठोस-चरण ग्रेटिंग सन्निकटन, जिसका कभी भी उपयोग नहीं किया गया है, 7. विभिन्न प्रकीर्णन के लिए मूडी का बहुपद व्यंजक, 8. फेनमैन पाथ-समाकल सूत्रीकरण

, और 9. मल्टीस्लाइस का बोर्न शृंखला से संबंध। एल्गोरिदम के बीच संबंध स्थान (2013) की धारा 5.11 में संक्षेपित है, (चित्र 5.9 देखें)।

सिद्धांत

यहां प्रस्तुत मल्टीस्लाइस एल्गोरिदम का रूप पेंग, दुदारेव और व्हेलन 2003 से अनुकूलित किया गया है। मल्टीस्लाइस एल्गोरिदम श्रोडिंगर तरंग समीकरण को हल करने की एक विधि है:

${\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\Psi (x,t)&=E\Psi (x,t)\end{aligned}}$

1957 में, काउली और मूडी ने दिखाया कि विवर्तित बीम के आयाम का मूल्यांकन करने के लिए श्रोडिंगर समीकरण को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है। इसके बाद, गतिशील विवर्तन के प्रभावों की गणना की जा सकती है और परिणामी अनुकारित प्रतिरूप गतिशील परिस्थितियों में सूक्ष्मदर्शी से ली गई वास्तविक प्रतिरूप के साथ ठीक समानता प्रदर्शित करेगी। इसके अतिरिक्त, मल्टीस्लाइस एल्गोरिदम संरचना की आवधिकता के विषय में कोई धारणा नहीं बनाता है और इस प्रकार इसका उपयोग अनावर्ती प्रणाली की एचआरईएम प्रतिरूपों को अनुकरण करने के लिए भी किया जा सकता है।

निम्नलिखित खंड में मल्टीस्लाइस एल्गोरिदम का गणितीय सूत्रीकरण सम्मिलित होगा। श्रोडिंगर समीकरण को घटना और प्रकिर्णत तरंग के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

${\begin{aligned}\Psi ({\mathbf {r} })&=\Psi _{0}({\mathbf {r} })+\int {G({\mathbf {r,r'} })V({\mathbf {r'} })\Psi ({\mathbf {r'} })d{\mathbf {r'} }}\end{aligned}}$ कहाँ $G(\mathbf {r,r'} )$ ग्रीन का कार्य है जो एक बिंदु पर इलेक्ट्रॉन तरंग समारोह के आयाम का प्रतिनिधित्व करता है $\mathbf {r}$ बिंदु पर एक स्रोत के कारण $\mathbf {r'}$.

इसलिए एक घटना के लिए रूप की समतल तरंग $\Psi (r)=\exp(i\mathbf {k\cdot r} )$ श्रोडिंगर समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

${\begin{aligned}\Psi ({\mathbf {r} })=\exp(i{\mathbf {k\cdot r} })-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int {\frac {\exp(ik\cdot {\mathbf {|r-r'|} })}{\mathbf {|r-r'|} }}V({\mathbf {r'} })\Psi ({\mathbf {r'} })dr'.\end{aligned}}$

(1)

हम फिर समन्वय अक्ष को इस प्रकार से चुनते हैं कि घटना बीम प्रतिदर्श में (0,0,0) पर टकराती है ${\hat {z}}$-दिशा, यानी, ${\textstyle \mathbf {k} =(0,0,k)}$. अब हम एक तरंग फलन पर विचार करते हैं $\Psi (r)=\phi (\mathbf {r} )\exp(i\mathbf {k\cdot r} )$ एक मॉड्यूलेशन फ़ंक्शन के साथ $\phi ({\mathbf {r} })$ आयाम के लिए। समीकरण (1) तब मॉडुलन फलन के लिए एक समीकरण बन जाता है, अर्थात,

$\begin{array}{rl}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r})& =1-<!--\; -\; -->\frac{m}{2}\end{array}$