सममित संभाव्यता वितरण

आँकड़ों में, एक सममित संभाव्यता वितरण एक संभाव्यता वितरण है - संभावित घटनाओं के लिए संभावनाओं का एक असाइनमेंट - जो अपरिवर्तित है जब इसकी संभावना घनत्व फ़ंक्शन (निरंतर संभाव्यता वितरण के लिए) या प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन (असतत यादृच्छिक चर के लिए) एक ऊर्ध्वाधर रेखा के आसपास परिलक्षित होता है। वितरण द्वारा दर्शाए गए यादृच्छिक चर के कुछ मूल्य पर। यह लंबवत रेखा वितरण की समरूपता की रेखा है। इस प्रकार जिस मान के बारे में समरूपता होती है उसके एक ओर किसी दी गई दूरी के होने की प्रायिकता वही होती है जो उस मान के दूसरी ओर उतनी ही दूरी पर होने की प्रायिकता होती है।

औपचारिक परिभाषा

संभाव्यता वितरण को सममित कहा जाता है यदि और केवल यदि कोई मान मौजूद है $x_{0}$ ऐसा है कि

$f(x_{0}-\delta )=f(x_{0}+\delta )$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए $\delta ,$

जहाँ f संभाव्यता घनत्व फलन है यदि वितरण सतत वितरण है या संभाव्यता द्रव्यमान फलन है यदि वितरण असतत वितरण है।

बहुभिन्नरूपी वितरण

समरूपता की डिग्री, दर्पण समरूपता के अर्थ में, चिरल इंडेक्स के साथ बहुभिन्नरूपी वितरण के लिए मात्रात्मक रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है, जो अंतराल [0;1] में मान लेता है, और जो शून्य है और केवल अगर वितरण दर्पण सममित है। इस प्रकार, एक डी-वैरिएट वितरण को दर्पण सममित के रूप में परिभाषित किया जाता है जब इसका चिरल इंडेक्स शून्य होता है। वितरण असतत या निरंतर हो सकता है, और घनत्व के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं है, लेकिन जड़ता परिमित और गैर अशक्त होनी चाहिए। अविभाज्य मामले में, इस सूचकांक को समरूपता के एक गैर पैरामीट्रिक परीक्षण के रूप में प्रस्तावित किया गया था।

निरंतर सममित गोलाकार के लिए, मीर एम अली ने निम्नलिखित परिभाषा दी। होने देना ${\mathcal {F}}$ प्रपत्र के संयुक्त घनत्व वाले एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिल्कुल निरंतर प्रकार के गोलाकार सममित वितरण के वर्ग को निरूपित करें $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})$ मूल में केंद्र के साथ एक निर्धारित त्रिज्या के साथ एक गोले के अंदर जो परिमित या अनंत हो सकता है और कहीं और शून्य हो सकता है।

गुण

• एक सममित वितरण का माध्यिका और माध्य (यदि यह मौजूद है) दोनों बिंदु पर होते हैं $x_{0}$ जिसके बारे में समरूपता होती है।
• यदि एक सममित वितरण एकरूप वितरण है, तो बहुलक (सांख्यिकी) माध्यिका और माध्य के साथ मेल खाता है।
• एक सममित वितरण के सभी विषम केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर (यदि वे मौजूद हैं), क्योंकि ऐसे क्षणों की गणना में नकारात्मक विचलन से उत्पन्न होने वाले नकारात्मक शब्द $x_{0}$ से समान धनात्मक विचलनों से उत्पन्न होने वाले धनात्मक शब्दों को ठीक से संतुलित करते हैं $x_{0}$
• तिरछापन का प्रत्येक माप एक सममित वितरण के लिए शून्य के बराबर होता है।

यूनिमोडल केस

Main article: चेबीशेव की असमानता § अनिमॉडल सममित वितरण

उदाहरणों की आंशिक सूची

निम्नलिखित वितरण सभी पैरामीट्रिजेशन के लिए सममित हैं। (कई अन्य वितरण एक विशेष पैरामीट्रिजेशन के लिए सममित हैं।)

नाम	वितरण
आर्कसिन वितरण	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}$ for 0 ≤ x ≤ 1 $f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$ on (0,1)
बेट्स वितरण	$f_{X}(x;n)={\frac {n}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(nx-k)$
कॉची वितरण	$f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi \gamma }\left[{\gamma ^{2} \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],$
चम्पारोन वितरण	$f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,$
निरंतर समान वितरण	$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}$
पतित वितरण	$F_{k_{0}}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq k_{0}\\0,&{\mbox{if }}x<k_{0}\end{matrix}}\right.$
असतत समान वितरण	$F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$
अण्डाकार वितरण	$f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))$
गॉसियन क्यू-वितरण	$s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}$
विषमता पैरामीटर शून्य के बराबर के साथ अतिपरवलयिक वितरण	${\frac {\gamma }{2\alpha \delta K_{1}(\delta \gamma )}}\;e^{-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu )}$ $K_{\lambda }$ दूसरी तरह के एक संशोधित बेसेल फ़ंक्शन को दर्शाता है
सामान्यीकृत सामान्य वितरण	${\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(|x-\mu |/\alpha )^{\beta }}$ $\Gamma$ गामा फंक्शन को दर्शाता है
अतिशयोक्तिपूर्ण छेदक वितरण	$f(x)={\frac {1}{2}}\;\operatorname {sech} \!\left({\frac {\pi }{2}}\,x\right)\!,$
लाप्लास वितरण	Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "ब" found.in 1:73"): {\displaystyle f(x\mid\mu,b) = \frac{1}{2b} \exp \left( -\frac{|x-\mu|}{बी} \दाएं) \,\!</गणित><math> = \frac{1}{2b} \left\{\begin{matrix} \exp \left( -\frac{\mu-x}{b} \right) & \text{if }x < \mu \\[8pt] \exp \left( -\frac{x-\mu}{b} \right) & \text{if }x \geq \mu \end{matrix}\right. }
इरविन-हॉल वितरण	$f_{X}(x;n)={\frac {1}{2(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)^{n-1}\operatorname {sgn}(x-k)$
${\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}\\[4pt]&={\frac {1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}$
$\varphi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}$
सामान्य-घातीय-गामा वितरण	$f(x;\mu ,k,\theta )\propto \exp {\left({\frac {(x-\mu )^{2}}{4\theta ^{2}}}\right)}D_{-2k-1}\left({\frac {|x-\mu |}{\theta }}\right)$
$f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.$
$f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,$
छात्रों का वितरण	$f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}},\!$
यू-द्विघात वितरण	$f(x|a,b,\alpha ,\beta )=\alpha \left(x-\beta \right)^{2},\quad {\text{for }}x\in [a,b].$
वोइग प्रोफाइल	$V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',$
$f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}$
$f(x)={2 \over \pi R^{2}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}\,}}\,$