एकरूपता

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गणित में, एकरूपता का अर्थ है एक अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) रखना। अधिक आम तौर पर, एकरूपता का मतलब है कि किसी गणितीय वस्तु का केवल एक ही उच्चतम मूल्य है, किसी तरह परिभाषित है।

यूनिमोडल संभाव्यता वितरण

File:Normal distribution pdf.svg

चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व समारोह, एकरूप वितरण का एक उदाहरण।

File:Bimodal.png

चित्र 2. एक साधारण द्विपाद वितरण।

File:Bimodal geological.PNG

चित्रा 3. एक द्विपक्षीय वितरण। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के सख्त अर्थों में एक मोड के अनुरूप होगी

आँकड़ों में, एक एकरूप संभाव्यता वितरण या एकरूप वितरण एक संभाव्यता वितरण है जिसमें एक शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) की सख्त परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य है।

यदि एक एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3), आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है। चित्र 1 सामान्य बंटनों को दिखाता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में कॉची वितरण, छात्र का टी-वितरण | छात्र का टी-वितरण, ची-वर्ग वितरण और घातीय वितरण शामिल हैं। असतत वितरणों के बीच, द्विपद वितरण और प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, हालांकि कुछ मापदंडों के लिए उनके पास समान संभावना वाले दो आसन्न मान हो सकते हैं।

चित्रा 2 और चित्रा 3 बिमॉडल वितरण को दर्शाता है।

अन्य परिभाषाएं

वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी मौजूद हैं।

निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण समारोह (सीडीएफ) के व्यवहार के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है। यदि cdf x < m के लिए उत्तल फलन और x > m के लिए अवतल फलन है, तो वितरण असमान है, m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के तहत समान वितरण (सतत) एकरूप है, साथ ही साथ कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदा। ट्रेपेज़ॉइडल वितरण। आमतौर पर यह परिभाषा मोड में एक विच्छिन्नता की अनुमति देती है; आम तौर पर एक सतत वितरण में किसी एक मूल्य की संभावना शून्य होती है, जबकि यह परिभाषा मोड में एक गैर-शून्य संभावना, या प्रायिकता के एक परमाणु की अनुमति देती है।

एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता हैया इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से। एक असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का एक अन्य तरीका संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना है। संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के साथ एक असतत वितरण, $\{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}$, को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम $\dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots$ ठीक एक संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।

उपयोग और परिणाम

वितरण की एकरूपता के महत्व का एक कारण यह है कि यह कई महत्वपूर्ण परिणामों की अनुमति देता है। नीचे कई असमानताएं (गणित) दी गई हैं जो केवल एकरूपी वितरण के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, यह आकलन करना महत्वपूर्ण है कि दिया गया डेटा सेट एक एकरूप वितरण से आता है या नहीं। बहुविध वितरण पर लेख में एकरूपता के लिए कई परीक्षण दिए गए हैं।

असमानताएं

See also: Chebychev's inequality § Unimodal distributions

गॉस की असमानता

पहला महत्वपूर्ण परिणाम गॉस की असमानता है। गॉस की असमानता इस संभावना पर एक ऊपरी सीमा देती है कि कोई मान अपने मोड से किसी भी दूरी से अधिक है। यह असमानता एकरूपता पर निर्भर करती है।

वायसोचान्स्की-पेटुनिन असमानता

एक सेकंड वैसोचन्स्की–पेटुनिन असमानता है, चेबिशेव असमानता का शोधन। चेबीशेव असमानता गारंटी देती है कि किसी भी संभाव्यता वितरण में, लगभग सभी मान माध्य मान के करीब हैं। वायसोचन्स्की-पेटुनिन असमानता इसे और भी निकट मूल्यों तक परिष्कृत करती है, बशर्ते कि वितरण कार्य निरंतर और एकरूप हो। आगे के परिणाम सेलके और सेलके द्वारा दिखाए गए।

बहुलक, माध्यिका और माध्य

गॉस ने 1823 में एक असमान वितरण के लिए भी दिखाया

$\sigma \leq \omega \leq 2\sigma$

और

$|\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,$

जहां माध्य ν है, माध्य μ है और ω मोड से मूल माध्य वर्ग विचलन है।

यह एक असमान वितरण के लिए दिखाया जा सकता है कि औसत ν और माध्य μ (3/5) के भीतर स्थित है^1/2 ≈ 0.7746 एक दूसरे के मानक विचलन। प्रतीकों में,

${\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}$

कहाँ | . .

2020 में, बर्नार्ड, काज़ी और वंडफेल ने सममित क्वांटाइल औसत के बीच अधिकतम दूरी प्राप्त करके पिछली असमानता को सामान्यीकृत किया ${\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}$ और मतलब,

${\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.$

यह ध्यान देने योग्य है कि अधिकतम दूरी कम से कम है $\alpha =0.5$ (यानी, जब सममित क्वांटाइल औसत के बराबर होता है $q_{0.5}=\nu$), जो वास्तव में माध्यिका की आम पसंद को माध्य के लिए एक मजबूत अनुमानक के रूप में प्रेरित करता है। इसके अलावा, कब $\alpha =0.5$, सीमा के बराबर है ${\sqrt {3/5}}$, जो माध्यिका और एकरूप वितरण के माध्य के बीच की अधिकतम दूरी है।

माध्यिका और बहुलक θ के बीच एक समान संबंध होता है: वे 3 के भीतर स्थित होते हैं^1/2 ≈ 1.732 एक दूसरे के मानक विचलन:

${\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.$

यह भी दिखाया जा सकता है कि माध्य और बहुलक 3 के भीतर हैं^{एक दूसरे का 1/2}:

$\frac{|}{}$