विभेदक फलन

एक अलग करने योग्य कार्य

गणित में, एक वास्तविक संख्या चर का एक अवकलनीय फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका व्युत्पन्न फलन के अपने क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर मौजूद होता है। दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय फलन के फलन के ग्राफ़ में इसके प्रांत के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा स्पर्श रेखा होती है। एक अलग करने योग्य फ़ंक्शन सुचारू है (फ़ंक्शन स्थानीय रूप से प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर एक रैखिक फ़ंक्शन के रूप में अनुमानित है) और इसमें कोई ब्रेक, कोण नहीं है, या कस्प (विलक्षणता)।

अगर x₀ फ़ंक्शन के डोमेन में एक आंतरिक बिंदु है f, तब f पर अवकलनीय कहा जाता है x₀ यदि व्युत्पन्न $f'(x_{0})$ मौजूद। दूसरे शब्दों में, का ग्राफ f के बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा है (x₀, f(x₀)). f पर अवकलनीय कहा जाता है U यदि यह प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है U. f को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है यदि इसका व्युत्पन्न भी फलन के क्षेत्र पर एक सतत फलन है $f$. आम तौर पर बोलना, f श्रेणी का कहा जाता है $C^{k}$ अगर यह पहले है $k$ डेरिवेटिव $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ मौजूद हैं और फ़ंक्शन के डोमेन पर निरंतर हैं $f$.

एक चर के वास्तविक कार्यों की भिन्नता

एक समारोह $f:U\to \mathbb {R}$, एक खुले सेट पर परिभाषित $U\subset \mathbb {R}$, पर अवकलनीय कहा जाता है $a\in U$ यदि व्युत्पन्न

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ मौजूद। इसका अर्थ है कि फलन सतत फलन है a.

यह समारोह f पर अवकलनीय कहा जाता है U यदि यह प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है U. इस मामले में, का व्युत्पन्न f इस प्रकार से एक कार्य है U में $\mathbb {R} .$ एक निरंतर कार्य अनिवार्य रूप से अलग-अलग नहीं है, लेकिन एक अलग-अलग कार्य आवश्यक रूप से निरंतर कार्य है (हर बिंदु पर जहां यह अलग-अलग होता है) जैसा कि नीचे दिखाया गया है (विभेदी कार्य # भिन्नता और निरंतरता अनुभाग में)। एक फलन को सतत अवकलनीय कहा जाता है यदि इसका व्युत्पन्न भी एक सतत फलन है; एक ऐसा फ़ंक्शन मौजूद है जो अलग-अलग है लेकिन लगातार अलग-अलग नहीं है जैसा कि नीचे दिखाया जा रहा है (अनुभाग अलग-अलग फ़ंक्शन # भिन्नता वर्ग में)।

भिन्नता और निरंतरता

See also: Continuous function

File:Absolute value.svg

निरपेक्ष मान फलन निरंतर है (अर्थात इसमें कोई अंतराल नहीं है)। यह बिंदु को छोड़कर हर जगह अलग-अलग है x = 0, जहां यह पार करते ही एक तीव्र मोड़ बनाता है y-एक्सिस।

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एक सतत समारोह के ग्राफ पर एक कस्प (विलक्षणता)। शून्य पर, फलन निरंतर होता है लेकिन अवकलनीय नहीं होता है।

अगर f एक बिंदु पर अवकलनीय है x₀, तब f पर भी निरंतर कार्य होना चाहिए x₀. विशेष रूप से, कोई भी अलग-अलग कार्य अपने डोमेन में हर बिंदु पर निरंतर होना चाहिए। इसका विलोम मान्य नहीं है: एक सतत फलन को अवकलनीय होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, मोड़, पुच्छल (विलक्षणता), या ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा वाला एक कार्य निरंतर हो सकता है, लेकिन विसंगति के स्थान पर भिन्न होने में विफल रहता है।

अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या लगभग हर जगह डेरिवेटिव होते हैं। हालांकि, स्टीफन बानाच के परिणाम में कहा गया है कि किसी बिंदु पर डेरिवेटिव वाले कार्यों का सेट सभी निरंतर कार्यों के स्थान में एक अल्प सेट है। अनौपचारिक रूप से, इसका मतलब यह है कि निरंतर कार्यों के बीच अवकलनीय कार्य बहुत ही असामान्य हैं। एक फ़ंक्शन का पहला ज्ञात उदाहरण जो हर जगह निरंतर है लेकिन अलग-अलग कहीं नहीं है, वीयरस्ट्रैस समारोह है।

विभेदीकरण वर्ग

File:Approximation of cos with linear functions without numbers.svg

अलग-अलग कार्यों को स्थानीय रूप से रैखिक कार्यों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

फ़ाइल: फ़ंक्शन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|300px|कार्यक्रम $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ साथ $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ के लिए $x\neq 0$ और $f(0)=0$ अवकलनीय है। हालाँकि, यह फ़ंक्शन लगातार भिन्न नहीं होता है।

Main article: Smoothness

एक समारोह $f$ बताया गया continuously differentiable यदि व्युत्पन्न $f^{\prime }(x)$ मौजूद है और स्वयं एक सतत कार्य है। हालांकि एक अलग-अलग कार्य के व्युत्पन्न में कभी भी एक कूद असंतोष नहीं होता है, लेकिन व्युत्पन्न के लिए अलगाव का वर्गीकरण # आवश्यक असंतोष होता है। उदाहरण के लिए, समारोह

$$f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}$$

0 पर अवकलनीय है, क्योंकि

$$f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0$$

मौजूद। हालाँकि, के लिए $x\neq 0,$ विभेदीकरण नियम का अर्थ है

$$f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,$$

जिसकी कोई सीमा नहीं है $x\to 0.$ इस प्रकार, यह उदाहरण एक ऐसे फलन के अस्तित्व को दर्शाता है जो अवकलनीय है लेकिन निरंतर अवकलनीय नहीं है (अर्थात्, अवकलज एक सतत फलन नहीं है)। फिर भी, डार्बौक्स प्रमेय (विश्लेषण) | डार्बौक्स प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी फलन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय के निष्कर्ष को संतुष्ट करता है।

इसी प्रकार निरंतर कार्यों को कैसे कहा जाता है class $C^{0},$ निरंतर अवकलनीय फलन को कभी-कभी कहा जाता है class $C^{1}.$ का एक फलन है class $C^{2}$ यदि फ़ंक्शन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न दोनों मौजूद हैं और निरंतर हैं। अधिक सामान्यतः, एक समारोह का होना कहा जाता है class $C^{k}$ यदि पहले $k$ डेरिवेटिव $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ सभी मौजूद हैं और निरंतर हैं। यदि डेरिवेटिव $f^{(n)}$ सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए मौजूद हैं $n,$ कार्य चिकना कार्य या समकक्ष है class $C^{\infty }.$

उच्च आयामों में भिन्नता

कई वास्तविक चरों का एक कार्य f: R^m → Rⁿ को एक बिंदु पर अवकलनीय कहा जाता है x₀ यदि कोई रेखीय नक्शा मौजूद है J: R^m → Rⁿ ऐसा है कि

$\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.$

यदि कोई फलन पर अवकलनीय है x₀, तो सभी आंशिक डेरिवेटिव मौजूद हैं x₀, और रैखिक मानचित्र J जैकबियन मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है, इस मामले में एक n × m मैट्रिक्स। उच्च-आयामी व्युत्पन्न का एक समान सूत्रीकरण एकल-चर कलन में पाए जाने वाले मौलिक वेतन वृद्धि लेम्मा द्वारा प्रदान किया जाता है।

यदि किसी बिंदु के पड़ोस (गणित) में फ़ंक्शन के सभी आंशिक डेरिवेटिव मौजूद हैं x₀ और बिंदु पर निरंतर हैं x₀, तो उस बिंदु पर फ़ंक्शन अलग-अलग होता है x₀.

हालांकि, आंशिक डेरिवेटिव (या यहां तक ​​​​कि सभी दिशात्मक डेरिवेटिव) का अस्तित्व गारंटी नहीं देता है कि एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, समारोह f: R² → R द्वारा परिभाषित

$f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}$

पर अवकलनीय नहीं है (0, 0), लेकिन इस बिंदु पर सभी आंशिक डेरिवेटिव और दिशात्मक डेरिवेटिव मौजूद हैं। निरंतर उदाहरण के लिए, function

$f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}$

पर अवकलनीय नहीं है (0, 0), लेकिन फिर से सभी आंशिक डेरिवेटिव और दिशात्मक डेरिवेटिव मौजूद हैं।

See also: Multivariable calculus and Smoothness § Multivariate differentiability classes

जटिल विश्लेषण में भिन्नता

Main article: Holomorphic function

जटिल विश्लेषण में, एकल-चर वास्तविक कार्यों के समान परिभाषा का उपयोग करके जटिल-भिन्नता को परिभाषित किया जाता है। यह जटिल संख्याओं को विभाजित करने की संभावना से अनुमत है। तो, एक समारोह $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ पर अवकलनीय कहा जाता है $x=a$ कब

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

यद्यपि यह परिभाषा एकल-चर वास्तविक कार्यों की भिन्नता के समान दिखती है, हालांकि यह अधिक प्रतिबंधात्मक स्थिति है। एक समारोह $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$, जो एक बिंदु पर जटिल-विभेदक है $x=a$ फ़ंक्शन के रूप में देखे जाने पर उस बिंदु पर स्वचालित रूप से अलग-अलग होता है $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$. ऐसा इसलिए है क्योंकि जटिल-भिन्नता का तात्पर्य है

$\lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.$

हालाँकि, एक समारोह $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ एक बहु-चर फ़ंक्शन के रूप में अलग-अलग किया जा सकता है, जबकि जटिल-अलग-अलग नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, जिसे 2-चर वास्तविक फलन के रूप में देखा जाता है $f(x,y)=x$, लेकिन यह किसी भी बिंदु पर जटिल-भिन्न नहीं है।

कोई भी कार्य जो किसी बिंदु के पड़ोस में जटिल-भिन्न होता है, उस बिंदु पर होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन कहलाता है। ऐसा कार्य आवश्यक रूप से असीम रूप से भिन्न होता है, और वास्तव में विश्लेषणात्मक कार्य होता है।

कई गुना पर अलग-अलग कार्य

See also: Differentiable manifold § Differentiable functions

यदि एम एक अलग-अलग कई गुना है, एम पर वास्तविक या जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन एफ को एक बिंदु पी पर अलग-अलग कहा जाता है यदि यह पी के आसपास परिभाषित कुछ (या किसी भी) समन्वय चार्ट के संबंध में अलग-अलग है। यदि M और N अलग-अलग कई गुना हैं, तो एक फ़ंक्शन f: M → N को बिंदु p पर अलग-अलग कहा जाता है यदि यह p और f(p) के आसपास परिभाषित कुछ (या किसी भी) समन्वय चार्ट के संबंध में अलग-अलग है।

यह भी देखें

• व्युत्पन्न के सामान्यीकरण
• अर्ध-भिन्नता
• विभेदक प्रोग्रामिंग