आइवरसन ब्रैकेट

गणित में, आइवरसन कोष्ठक, केनेथ ई. इवरसन के नाम पर रखा गया, एक संकेतन है जो क्रोनकर डेल्टा का सामान्यीकरण करता है, जो कथन x = y का आइवरसन कोष्ठक है। यह किसी भी कथन (तर्क) को उस कथन में मुक्त चर के फ़ंक्शन (गणित) में मैप करता है। इस फ़ंक्शन को उन चरों के मानों के लिए मान 1 लेने के लिए परिभाषित किया गया है जिनके लिए कथन सत्य है, और मान 0 अन्यथा लेता है। इसे आमतौर पर वर्गाकार कोष्ठकों के अंदर कथन लगाकर दर्शाया जाता है:

$$[P]={\begin{cases}1&{\text{if }}P{\text{ is true;}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

दूसरे शब्दों में, किसी कथन का आइवरसन कोष्ठक मानों के उस समुच्चय का सूचक फंक्शन है जिसके लिए कथन सत्य है।

इन्वर्सन कोष्ठक समन इंडेक्स पर प्रतिबंध के बिना पूंजी-सिग्मा संकेतन का उपयोग करने की अनुमति देता है। यानी किसी संपत्ति के लिए $P(k)$ पूर्णांक का $k$, कोई प्रतिबंधित योग को फिर से लिख सकता है $\sum _{k:P(k)}f(k)$ अप्रतिबंधित रूप में $\sum _{k}f(k)\cdot [P(k)]$. इस सम्मेलन के साथ, $f(k)$ के मूल्यों के लिए परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है k जिसके लिए आइवरसन ब्रैकेट बराबर है 0; वह योग है $f(k)[{\textbf {false}}]$ भले ही 0 का मूल्यांकन करना चाहिए $f(k)$ परिभाषित किया गया।

अंकन मूल रूप से केनेथ ई. इवरसन द्वारा अपनी प्रोग्रामिंग भाषा एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा) में पेश किया गया था, हालांकि कोष्ठकों में संलग्न एकल संबंधपरक संचालकों तक सीमित है, जबकि मनमाने बयानों के सामान्यीकरण, वर्गाकार कोष्ठकों के लिए नोटेशनल प्रतिबंध, और योग के लिए आवेदन, कोष्ठक में तार्किक अभिव्यक्तियों में अस्पष्टता से बचने के लिए डोनाल्ड नुथ द्वारा वकालत की गई थी।

गुण

आइवरसन कोष्ठक, लॉजिक और समूह संचालन पर अंकगणित के बीच सीधा समानता है। उदाहरण के लिए, A और B को सेट होने दें और $P(k_{1},\dots )$ पूर्णांकों की कोई गुण; तो हमारे पास हैं

$${\begin{aligned}\sum _{k\in A}f(k)+\sum _{k\in B}f(k)&=\sum _{k}f(k)\,[k\in A]+\sum _{k}f(k)\,[k\in B]\\&=\sum _{k}f(k)\,([k\in A]+[k\in B])\\&=\sum _{k}f(k)\,([k\in A\cup B]+[k\in A\cap B])\\&=\sum _{k\in A\cup B}f(k)\ +\sum _{k\in A\cap B}f(k).\end{aligned}}$$