माध्य

This article is about the mathematical concept. For other uses, see माध्य (disambiguation). For the state of being mean or cruel, see Meanness. For broader coverage of this topic, see Average.

गणित में कई प्रकार के माध्य होते हैं, विशेषकर सांख्यिकी में। प्रत्येक माध्य डेटा के दिए गए समूह को सारांशित करने का कार्य करता है, अक्सर किसी दिए गए डेटा सेट के समग्र मूल्य (परिमाण (गणित) और चिह्न (गणित)) को बेहतर ढंग से समझने के लिए।

एक डेटा सेट के लिए, अंकगणितीय माध्य, जिसे अंकगणितीय औसत के रूप में भी जाना [[आंकड़े]] है, संख्याओं के परिमित सेट की केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय है: विशेष रूप से, मानों की संख्या से विभाजित मानों का योग। संख्याओं के समूह x का अंकगणितीय माध्य₁, एक्स₂, ..., एक्स_nआमतौर पर ओवरहेड बार का उपयोग करके दर्शाया जाता है, ${\bar {x}}$. यदि डेटा सेट एक सांख्यिकीय आबादी से नमूने (सांख्यिकी) द्वारा प्राप्त टिप्पणियों की एक श्रृंखला पर आधारित थे, तो अंकगणितीय माध्य नमूना माध्य है (${\bar {x}}$) इसे अंतर्निहित वितरण के माध्य, या अपेक्षित मान से अलग करने के लिए, जनसंख्या माध्य (निरूपित '$\mu$या$\mu _{x}$). संभाव्यता और सांख्यिकी के बाहर, माध्य की अन्य धारणाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग अक्सर ज्यामिति और गणितीय विश्लेषण में किया जाता है; उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

साधनों के प्रकार

पाइथागोरस का अर्थ है

Main article: Pythagorean means

अंकगणितीय माध्य (AM)

संख्याओं की सूची का अंकगणितीय माध्य (या केवल माध्य), संख्याओं की संख्या से विभाजित सभी संख्याओं का योग है। इसी तरह, एक नमूने का मतलब $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है ${\bar {x}}$, नमूने में आइटमों की संख्या से विभाजित नमूनाकृत मानों का योग है।

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$

उदाहरण के लिए, पाँच मानों का अंकगणितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है:

${\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.$

ज्यामितीय माध्य (जीएम)

ज्यामितीय माध्य एक औसत है जो सकारात्मक संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है, जो कि उनके उत्पाद के अनुसार व्याख्या की जाती है (जैसा कि विकास दर के मामले में है) और उनकी राशि नहीं है (जैसा कि अंकगणितीय माध्य के मामले में है):

${\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}$

उदाहरण के लिए, पाँच मानों का ज्यामितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है:

$(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.$

अनुकूल माध्य (एचएम)

हार्मोनिक माध्य एक औसत है जो संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो माप की किसी इकाई के संबंध में परिभाषित होते हैं, जैसा कि गति के मामले में होता है (यानी, समय की प्रति इकाई दूरी):

${\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}$

उदाहरण के लिए, पाँच मानों का हार्मोनिक माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है

${\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.$

AM, GM और HM के बीच संबंध

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Proof without words of the inequality of arithmetic and geometric means:
$PR$ is the diameter of a circle centered on $O$; its radius $AO$ is the arithmetic mean of $a$ and $b$. Using the geometric mean theorem, triangle $PGR$'s altitude $GQ$ is the geometric mean. For any ratio $a:b$, $AO\geq GQ$.

Main article: Inequality of arithmetic and geometric means

AM, GM और HM इन असमानताओं को संतुष्ट करते हैं:

$\mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,$

समानता तब होती है जब दिए गए नमूने के सभी तत्व समान हों।

सांख्यिकीय स्थान

See also: Average § Statistical location

File:Comparison mean median mode.svg

लॉग-नॉर्मल) डिस्ट्रीब्यूशन के अंकगणितीय माध्य, माध्यिका और मोड (सांख्यिकी) की तुलना।

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मोड का ज्यामितीय विज़ुअलाइज़ेशन, माध्यिका और मनमाना संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का माध्य।

वर्णनात्मक आंकड़ों में, माध्य को माध्यिका, मोड (सांख्यिकी) या मध्य-श्रेणी के साथ भ्रमित किया जा सकता है, क्योंकि इनमें से किसी को भी गलत तरीके से औसत कहा जा सकता है (औपचारिक रूप से, केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय)। प्रेक्षणों के समुच्चय का माध्य मानों का अंकगणितीय औसत है; हालाँकि, तिरछापन के लिए, माध्य आवश्यक रूप से मध्य मान (माध्यिका), या सबसे संभावित मान (मोड) के समान नहीं है। उदाहरण के लिए, औसत आय आम तौर पर बहुत बड़ी आय वाले लोगों की एक छोटी संख्या से ऊपर की ओर तिरछी होती है, ताकि बहुमत की आय औसत से कम हो। इसके विपरीत, औसत आय वह स्तर है जिस पर आधी आबादी नीचे और आधी ऊपर है। मोड आय सबसे अधिक संभावित आय है और कम आय वाले लोगों की बड़ी संख्या का पक्ष लेती है। हालांकि इस तरह के विषम डेटा के लिए मध्यिका और मोड अक्सर अधिक सहज ज्ञान युक्त उपाय होते हैं, कई तिरछे वितरण वास्तव में उनके माध्यम से सर्वोत्तम रूप से वर्णित होते हैं, जिसमें घातीय वितरण और पॉसॉन वितरण वितरण शामिल हैं।

एक संभाव्यता वितरण का मतलब

Main article: Expected value

See also: Population mean

प्रायिकता वितरण का माध्य उस वितरण वाले यादृच्छिक चर का दीर्घकालीन अंकगणितीय औसत मान है। यदि यादृच्छिक चर द्वारा निरूपित किया जाता है $X$, तो इसे के अपेक्षित मूल्य के रूप में भी जाना जाता है $X$ (निरूपित $E(X)$).