कॉची प्रिंसिपल वैल्यू

This article is about a method for assigning values to improper integrals. For the values of a complex function associated with a single branch, see Principal value. For the negative-power portion of a Laurent series, see Principal part.

गणित में, ऑगस्टिन लुइस कॉची के नाम पर कॉची प्रिंसिपल वैल्यू, कुछ अनुचित इंटीग्रल को मान निर्दिष्ट करने की एक विधि है जो अन्यथा अपरिभाषित होगी।

सूत्रीकरण

इंटीग्रैंड में गणितीय विलक्षणता के प्रकार पर निर्भर करता है f, कॉची प्रिंसिपल वैल्यू को निम्नलिखित नियमों के अनुसार परिभाषित किया गया है:

For a singularity at the finite number b

$$\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left[\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x~+~\int _{b+\varepsilon }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right]$$

with $a<b<c$ and where b is the difficult point, at which the behavior of the function f is such that

$$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty \quad$$

for any $a<b$ and

$$\int _{b}^{c}f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty \quad$$

for any $b<c.$ (See plus or minus for the precise use of notations ± and ∓.)

For a singularity at infinity ($\infty$)

$$\lim _{a\to \infty }\,\int _{-a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$$

where

$$\int _{-\infty }^{0}f(x)\,\mathrm {d} x=\pm \infty$$

and

$$\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\mp \infty .$$

कुछ मामलों में एक परिमित संख्या में दोनों विलक्षणताओं से एक साथ निपटना आवश्यक है b और अनंत पर। यह आमतौर पर प्रपत्र की एक सीमा द्वारा किया जाता है

$$\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\,\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}}\,\left[\,\int _{b-{\frac {1}{\eta }}}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,~+~\int _{b+\varepsilon }^{b+{\frac {1}{\eta }}}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right].$$

उन मामलों में जहां समाकल को दो स्वतंत्र, परिमित सीमाओं में विभाजित किया जा सकता है,

$$\lim _{\;\varepsilon \to 0^{+}\;}\,\left|\,\int _{a}^{b-\varepsilon }f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty$$

और

$$\lim _{\;\eta \to 0^{+}}\;\left|\,\int _{b+\eta }^{c}f(x)\,\mathrm {d} x\,\right|\;<\;\infty ,$$

तो समारोह सामान्य अर्थों में पूर्णांक है। मुख्य मूल्य के लिए प्रक्रिया का परिणाम साधारण अभिन्न के समान है; चूँकि यह अब परिभाषा से मेल नहीं खाता, यह तकनीकी रूप से एक प्रमुख मूल्य नहीं है। कॉची प्रिंसिपल वैल्यू को कॉम्प्लेक्स-वैल्यू फंक्शन के कंटूर इंटीग्रेशन के तरीके के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $f(z):z=x+i\,y\;,$ साथ $x,y\in \mathbb {R} \;,$ एक समोच्च पर एक पोल के साथ C. परिभाषित करना $C(\varepsilon )$ वही कंटूर हो, जहां डिस्क के अंदर का हिस्सा रेडियस का हो ε पोल के चारों ओर हटा दिया गया है। समारोह प्रदान किया $f(z)$ समाकलनीय है $C(\varepsilon )$ इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, कि कितना छोटा है ε बन जाता है, तो कॉची प्रिंसिपल वैल्यू की सीमा है:

$$\operatorname {p.\!v.} \int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{C(\varepsilon )}f(z)\,\mathrm {d} z.$$

Lebesgue इंटीग्रल | Lebesgue-integrable फ़ंक्शंस के मामले में, अर्थात्, फ़ंक्शंस जो पूर्ण मूल्य में पूर्णांक हैं, ये परिभाषाएँ इंटीग्रल की मानक परिभाषा के साथ मेल खाती हैं। यदि समारोह $f(z)$ मेरोमोर्फिक है, सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय इंटीग्रल ओवर के प्रमुख मूल्य से संबंधित है C इंटीग्रल के औसत-मान के साथ समोच्च के साथ थोड़ा ऊपर और नीचे विस्थापित हो गया, ताकि अवशेष प्रमेय को उन इंटीग्रल पर लागू किया जा सके। प्रिंसिपल वैल्यू इंटीग्रल्स हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म की चर्चा में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।

वितरण सिद्धांत

होने देना ${C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$ बम्प फ़ंक्शंस का सेट हो, यानी वास्तविक संख्या पर कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ चिकना समारोह का स्थान $\mathbb {R}$. फिर नक्शा

$$\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C}$$

कॉची प्रिंसिपल वैल्यू के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ,\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )$$

एक वितरण (गणित) है। मानचित्र को ही कभी-कभी मुख्य मूल्य कहा जा सकता है (इसलिए अंकन p.v.)। यह वितरण, उदाहरण के लिए, साइन समारोह के फूरियर रूपांतरण और हैवीसाइड स्टेप फंक्शन में प्रकट होता है।

एक वितरण के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित

सीमा के अस्तित्व को साबित करने के लिए

$$\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$$

श्वार्ट्ज समारोह के लिए $u(x)$, पहले उसका निरीक्षण करें ${\frac {u(x)-u(-x)}{x}}$ निरंतर चालू है $[0,\infty ),$ जैसा

$$\lim _{\,x\searrow 0\,}\;{\Bigl [}u(x)-u(-x){\Bigr ]}~=~0~$$

और इसलिए

$$\lim _{x\searrow 0}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}~=~\lim _{\,x\searrow 0\,}\,{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}~=~2u'(0)~,$$

तब से $u'(x)$ निरंतर है और L'Hopital का नियम लागू होता है।

इसलिए, $\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x$ मौजूद है और औसत मूल्य प्रमेय को लागू करके $u(x)-u(-x),$ हम पाते हैं:

$\left|\,\int _{0}^{1}\,{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;\int _{0}^{1}{\frac {{\bigl |}u(x)-u(-x){\bigr |}}{x}}\,\mathrm {d} x\;\leq \;\int _{0}^{1}\,{\frac {\,2x\,}{x}}\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}\,\mathrm {d} x\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}u'(x){\Bigr |}~.$

और इसके अलावा:

$\left|\,\int _{1}^{\infty }{\frac {\;u(x)-u(-x)\;}{x}}\,\mathrm {d} x\,\right|\;\leq \;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~\cdot \;\int _{1}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\,x^{2}\,}}\;=\;2\,\sup _{x\in \mathbb {R} }\,{\Bigl |}x\cdot u(x){\Bigr |}~,$

हम ध्यान दें कि नक्शा

$$\operatorname {p.v.} \;\left({\frac {1}{\,x\,}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C}$$

श्वार्ट्ज कार्यों के लिए सामान्य सेमिनोर्म्स द्वारा सीमित है $u$. इसलिए, यह मानचित्र परिभाषित करता है, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से रैखिक है, श्वार्ट्ज अंतरिक्ष पर एक निरंतर कार्यात्मक है और इसलिए एक वितरण (गणित) # टेम्पर्ड वितरण और फूरियर परिवर्तन।

ध्यान दें कि सबूत की जरूरत है $u$ केवल 0 और के पड़ोस में लगातार भिन्न होने के लिए $x\,u$ अनंत की ओर बंधे होने के लिए। मुख्य मूल्य इसलिए भी कमजोर धारणाओं पर परिभाषित किया गया है जैसे कि $u$ कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ पूर्णांक और 0 पर अलग-अलग।

अधिक सामान्य परिभाषाएं

मुख्य मान फ़ंक्शन का व्युत्क्रम वितरण है $x$ और इस संपत्ति के साथ लगभग एकमात्र वितरण है:

$$xf=1\quad \Leftrightarrow \quad \exists K:\;\;f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,$$

कहाँ $K$ एक स्थिर और है $\delta$ डिराक वितरण।

एक व्यापक अर्थ में, यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर एकवचन अभिन्न अभिन्न कर्नेल की एक विस्तृत श्रेणी के लिए प्रमुख मूल्य को परिभाषित किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{n}$. अगर $K$ मूल में एक पृथक विलक्षणता है, लेकिन एक अन्यथा अच्छा कार्य है, तो प्रिंसिपल-वैल्यू वितरण को कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारू कार्यों पर परिभाषित किया गया है

$$[\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon }(0)}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.$$

ऐसी सीमा अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हो सकती है, या, अच्छी तरह से परिभाषित होने के कारण, यह आवश्यक रूप से वितरण को परिभाषित नहीं कर सकती है। हालाँकि, यह अच्छी तरह से परिभाषित है अगर $K$ डिग्री का एक सतत सजातीय कार्य है $-n$ जिसका मूल पर केन्द्रित किसी भी गोले पर समाकलन लुप्त हो जाता है। उदाहरण के लिए, रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म के मामले में यही स्थिति है।

उदाहरण

दो सीमाओं के मानों पर विचार करें:

$$\lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=0,$$

यह अन्यथा खराब परिभाषित अभिव्यक्ति का कॉची प्रमुख मूल्य है

$$\int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.$$

भी:

$$\lim _{a\to 0+}\left(\int _{-1}^{-2a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\right)=\ln 2.$$

इसी तरह, हमारे पास है

$$\lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=0,$$

यह अन्यथा खराब परिभाषित अभिव्यक्ति का मुख्य मूल्य है

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}{\text{ (which gives }}{-\infty }+\infty {\text{)}}.$$

लेकिन

$$\lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,\mathrm {d} x}{x^{2}+1}}=-\ln 4.$$

नोटेशन

अलग-अलग लेखक फ़ंक्शन के कॉची प्रिंसिपल वैल्यू के लिए अलग-अलग नोटेशन का उपयोग करते हैं $f$, दूसरों के बीच में:

$$PV\int f(x)\,\mathrm {d} x,$$

$$\mathrm {p.v.} \int f(x)\,\mathrm {d} x,$$

$$\int _{L}^{*}f(z)\,\mathrm {d} z,$$

$$-\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,\mathrm {d} x,$$

साथ ही $P,$ पी.वी., ${\mathcal {P}},$ $P_{v},$ $(CPV),$ और वी.पी.

यह भी देखें

• हैडमार्ड परिमित भाग अभिन्न
• हिल्बर्ट परिवर्तन
• सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय