रैखिक फलन (गणना)

रैखिक फलन का ग्राफ:

y(x)=-x+2

किसी गणना और उसके संबंधित क्षेत्रों में, वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक रेखीय फलन ऐसा फलन होता है जिसका ग्राफ (कार्तीय निर्देशांक में) किसी समतल में क्षैतिज रेखा (ज्यामिति) के अनुक्रम में होता हैं।^[1] रैखिक फलन की विशेषता यह है कि जब इनपुट चर को परिवर्तित किया जाता है, तो आउटपुट में परिवर्तन इनपुट में होने वाले परिवर्तन के लिए आनुपातिकता (गणित) के कारण होता हैं।

रैखिक फलन रैखिक समीकरणों से संबंधित होते हैं।

गुण

रैखिक फलन ऐसा बहुपद फलन है जिसमें चर (गणित) $x$ के पास अधिकतम डिग्री रहती है:^[2]

f(x)=ax+b

इस प्रकार के फलन को रैखिक फलन कहा जाता है क्योंकि इस फलन का ग्राफ उपस्थित सभी बिंदुओं के समुच्चय $(x,f(x))$ के लिए कार्तीय तल के रूप में रेखा ज्यामिति को सुशोभित करता है। इसके गुणांक a को फलन और रेखा का प्रवणता के रूप में निरूपित करते हैं।

यदि प्रवणता $a=0$ है, जिसका निरंतर फलन $f(x)=b$ है तो क्षैतिज रेखा को परिभाषित करना इसके रैखिक फलन के वर्ग से बाहर होता हैं।^[3] इस परिभाषा के साथ रैखिक बहुपद की घात ठीक होगी, और इसका ग्राफ़ ऐसी रेखा होगी जो न तो लंबवत और न ही क्षैतिज होता है। चूँकि, इस लेख में, $a\neq 0$ होना आवश्यक है, इसलिए स्थिर फलन को रैखिक माना जाता हैं।

यदि $b=0$ हो तब इस स्थिति में रैखिक फलन को सजातीय फलन कहा जाता है। यह ऐसा फलन है जो रेखा को परिभाषित करता है तथा समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के कारण यह बिंदु $(x,y)=(0,0)$ से गुजरता है। इस प्रकार उन्नत गणित ग्रंथों में रैखिक फलन शब्द अधिकांशतः विशेष रूप से सजातीय रैखिक फलन को दर्शाते हैं, जबकि शब्द एफाइन फलन का उपयोग सामान्य स्थितियों के लिए किया जाता है, जिसमें $b\neq 0$ सम्मिलित हैं।

किसी रैखिक फलन के फलन का प्राकृतिक डोमेन $f(x)$ , के लिए अनुमत इनपुट मानों का समुच्चय $x$ , वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समुच्चय $x\in \mathbb {R} .$ है, इस प्रकार किसी भी फलन पर विचार कर सकता है, यहाँ पर $x$ क्षेत्र (गणित) में, गुणांक लेते हुए $a, b$ को उस क्षेत्र में संलग्न करते हैं।

मानचित्र $y=f(x)=ax+b$ के साथ ठीक अंतःखण्डित होने वाली गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा $y$ -अक्ष पर रहती है, इसका $y$ -अवरोधन बिंदु $(x,y)=(0,b).$ $y$ }-अवरोधन मान $y=f(0)=b$ का प्रारंभिक मान $f(x).$ भी कहा जाता है। इस प्रकार यदि $a\neq 0,$ हो तब इस स्थिति में ग्राफ गैर-क्षैतिज रेखा की ओर प्रदर्शित होता हैं जिसमें निम्न अंतःखण्ड होते है- $x$ -अक्ष, $x$ -अवरोधन बिंदु $(x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0).$ $x$ }-अवरोधन मान $x=-{\tfrac {b}{a}},$ समीकरण का हल $f(x)=0,$ के फलन $f(x).$ का मूल या शून्य भी कहा जाता है।

प्रवणता

एक रेखा का प्रवणता अनुपात है

{\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}

में बदलाव के बीच

x

, निरूपित

\Delta x

, और इसी में परिवर्तन

y

, निरूपित

\Delta y

किसी गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा का प्रवणता (गणित) संख्या है जो यह मापती है कि रेखा कितनी झुकी हुई है। यदि रेखा रैखिक फलन का आलेख $f(x)=ax+b$ है, इस स्थिति में प्रवणता स्थिर $a$ द्वारा दिया जाता है।

प्रवणता के परिवर्तन की निरंतर दर $f(x)$ को मापता है। x में प्रति इकाई होने वाला परिवर्तन जब भी इनपुट $x$ में इकाई की वृद्धि होती है, तो उत्पादन में परिवर्तन होता है। इस प्रकार $a$ इकाइयां: $f(x{+}1)=f(x)+a$ , और अधिक सामान्यतः $f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x$ किसी भी संख्या के लिए $\Delta x$ द्वारा प्रदर्शित होती हैं। इस कारण यदि प्रवणता धनात्मक होता है तब $a>0$ होने पर फलन $f(x)$ का मान बढ़ जाता है, यदि $a<0$ , तब इस स्थिति में $f(x)$ का मान कम होता हैं।