लंबकोणीय प्रक्षेप

For the orthographic projection as a map projection, see Orthographic map projection. For mathematical discussion in terms of linear algebra, see Projection (linear algebra).

ऑर्थोग्राफ़िक प्रोजेक्शन (ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन और एनालेम्मा भी) त्रि-आयामी अंतरिक्ष का प्रतिनिधित्व करने का माध्यम है| द्वि-आयामी अंतरिक्ष में त्रि-आयामी वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने का माध्यम है। ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन समानांतर प्रक्षेपण का एक रूप है जिसमें सभी प्रोजेक्शन लाइनें प्रक्षेपण विमान के लिए ओर्थोगोनल होती हैं, जिसके परिणामस्वरूप दृश्य के प्रत्येक विमान को देखने की सतह पर परिशोधन परिवर्तन में दिखाई देता है। एक ऑर्थोग्राफ़िक प्रोजेक्शन का उल्टा एक तिरछा प्रोजेक्शन है, जो एक समानांतर प्रोजेक्शन है जिसमें प्रोजेक्शन तिरछा प्रक्षेपण प्लेन के लिए ऑर्थोगोनल नहीं हैं।

ऑर्थोग्राफ़िक शब्द का अर्थ कभी-कभी मल्टीव्यू प्रोजेक्शन में एक तकनीक से होता है जिसमें मुख्य अक्ष या विषय के तल भी प्राथमिक दृश्य बनाने के लिए प्रक्षेपण तल के समानांतर होते हैं। यदि ऑर्थोग्राफ़िक प्रोजेक्शन में किसी वस्तु के प्रमुख तल या अक्ष प्रक्षेपण तल के समानांतर नहीं हैं, तो चित्रण को एक्सोनोमेट्रिक या सहायक दृश्य कहा जाता है। (एक्सोनोमेट्रिक प्रोजेक्शन समानांतर प्रोजेक्शन का पर्याय है।) उप-प्रकार के प्राथमिक दृश्यों में प्लान, एलिवेशन और सेक्शन शामिल हैं; उप-प्रकार के सहायक दृश्यों में आइसोमेट्रिक, डिमेट्रिक और ट्राइमेट्रिक प्रोजेक्शन शामिल हैं।

एक लेंस जो एक ऑर्थोग्राफ़िक प्रोजेक्शन प्रदान करता है, एक टेलीसेंट्रिक लेंस#ऑब्जेक्ट-स्पेस टेलीसेंट्रिक लेंस|ऑब्जेक्ट-स्पेस टेलीसेंट्रिक लेंस है।

ज्यामिति

कई प्रकार के चित्रमय प्रक्षेपण की तुलना

विभिन्न अनुमान और वे कैसे उत्पन्न होते हैं

तीन दर्शन। प्रतिशत फोरशॉर्टिंग की मात्रा दिखाते हैं।

समतल (गणित) z = 0 पर एक साधारण ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) को निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

$P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$

प्रत्येक बिंदु के लिए वी = (वी_x, में_y, में_z), रूपांतरित बिंदु Pv होगा

$Pv={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\end{bmatrix}}$

अक्सर, सजातीय निर्देशांकों का उपयोग करना अधिक उपयोगी होता है। उपरोक्त परिवर्तन को सजातीय निर्देशांक के रूप में दर्शाया जा सकता है

$P={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

प्रत्येक सजातीय सदिश के लिए v = (v_x, में_y, में_z, 1), रूपांतरित सदिश Pv होगा

$Pv={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\\1\end{bmatrix}}$

कंप्यूटर चित्रलेख में, ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे आम मेट्रिसेस में से एक को n-tuple|6-tuple, (बाएं, दाएं, नीचे, ऊपर, पास, दूर) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो क्लिपिंग को परिभाषित करता है कतरन (कंप्यूटर ग्राफिक्स)) विमान। ये विमान न्यूनतम कोने (बाएं, नीचे, -निकट) और अधिकतम कोने (दाएं, ऊपर, -दूर) के साथ एक बॉक्स बनाते हैं। बॉक्स का अनुवाद किया जाता है ताकि इसका केंद्र मूल में हो, फिर इसे यूनिट क्यूब में स्केल किया जाता है जिसे (-1,-1,-1) पर न्यूनतम कोने और (1,1, पर अधिकतम कोने से परिभाषित किया जाता है) 1).

ऑर्थोग्राफ़िक परिवर्तन निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा दिया जा सकता है:

$P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

जिसे स्केलिंग (ज्यामिति) एस के रूप में अनुवाद (ज्यामिति) टी के रूप में दिया जा सकता है

$P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

प्रोजेक्शन मैट्रिक्स पी का उलटा⁻¹, जिसे अप्रोजेक्शन मैट्रिक्स के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, परिभाषित किया गया है:

$P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

प्रकार

Classification of लंबकोणीय प्रक्षेप and some 3D projections

ऑर्थोग्राफ़िक प्रोजेक्शन के तीन उप-प्रकार सममितीय प्रक्षेपण , डिमेट्रिक प्रोजेक्शन और ट्राइमेट्रिक प्रोजेक्शन हैं, जो उस सटीक कोण पर निर्भर करता है जिस पर दृश्य ऑर्थोगोनल से विचलित होता है। आमतौर पर एक्सोनोमेट्रिक ड्राइंग में, जैसा कि अन्य प्रकार के सचित्रों में होता है, अंतरिक्ष की एक धुरी को लंबवत दिखाया जाता है।

आइसोमेट्रिक प्रोजेक्शन में, इंजीनियरिंग ड्राइंग में एक्सोनोमेट्रिक प्रोजेक्शन का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला रूप, देखने की दिशा ऐसी है कि अंतरिक्ष के तीन अक्ष समान रूप से पर्सपेक्टिव (ग्राफिकल)#फोरशॉर्टिंग दिखाई देते हैं, और उनके बीच 120° का एक सामान्य कोण है। चूंकि फोरशॉर्टिंग के कारण होने वाली विकृति एक समान होती है, लंबाई के बीच आनुपातिकता संरक्षित होती है, और कुल्हाड़ियों का एक सामान्य पैमाना होता है; यह ड्राइंग से सीधे माप लेने की क्षमता को आसान बनाता है। एक अन्य लाभ यह है कि 120° कोण आसानी से केवल एक कंपास और सीधे किनारे के निर्माण का उपयोग करके बनाए जाते हैं।

द्विमितीय प्रक्षेपण में, देखने की दिशा ऐसी होती है कि अंतरिक्ष के तीन अक्षों में से दो समान रूप से अग्रसंक्षिप्त दिखाई देते हैं, जिनमें से परिचर पैमाने और प्रस्तुति के कोण देखने के कोण के अनुसार निर्धारित होते हैं; तीसरी दिशा का पैमाना अलग से निर्धारित किया जाता है। डिमेट्रिक ड्रॉइंग में डायमेंशनल सन्निकटन सामान्य हैं।

त्रिमितीय प्रक्षेपण में, देखने की दिशा ऐसी होती है कि अंतरिक्ष के सभी तीन अक्ष असमान रूप से अग्रसंक्षिप्त दिखाई देते हैं। तीन अक्षों में से प्रत्येक के साथ पैमाने और उनके बीच के कोणों को अलग-अलग निर्धारित किया जाता है जैसा कि देखने के कोण से निर्धारित होता है। त्रिमितीय रेखाचित्रों में आयामी सन्निकटन सामान्य हैं, और त्रिमितीय परिप्रेक्ष्य का उपयोग शायद ही कभी तकनीकी रेखाचित्रों में किया जाता है।

मल्टीव्यू प्रोजेक्शन

प्रतीक यह परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं कि क्या मल्टीव्यू प्रोजेक्शन या तो तीसरा-कोण (दाहिना) या पहला-कोण (बायां) है।

Main article: Multiview projection

मल्टीव्यू प्रोजेक्शन में, ऑब्जेक्ट के छः चित्रों तक का उत्पादन किया जाता है, जिसे प्राथमिक दृश्य कहा जाता है, प्रत्येक प्रोजेक्शन विमान वस्तु के समन्वय अक्षों में से एक के समानांतर होता है। दो योजनाओं में से एक के अनुसार विचार एक दूसरे के सापेक्ष स्थित हैं: प्रथम-कोण या तृतीय-कोण प्रक्षेपण। प्रत्येक में, विचारों के प्रकटन के बारे में सोचा जा सकता है कि उन विमानों पर प्रक्षेपित किया जा रहा है जो वस्तु के चारों ओर छह-पक्षीय बॉक्स बनाते हैं। हालांकि छह अलग-अलग पक्षों को खींचा जा सकता है, आमतौर पर ड्राइंग के तीन दृश्य त्रि-आयामी वस्तु बनाने के लिए पर्याप्त जानकारी देते हैं। इन दृश्यों को फ्रंट व्यू, टॉप व्यू और एंड व्यू के रूप में जाना जाता है। इन दृश्यों के अन्य नामों में योजना, उन्नयन और खंड शामिल हैं। जब चित्रित वस्तु का तल या अक्ष प्रक्षेपण तल के समानांतर नहीं होता है, और जहां एक ही छवि में वस्तु के कई पक्ष दिखाई देते हैं, तो इसे सहायक दृश्य कहा जाता है। इस प्रकार आइसोमेट्रिक प्रोजेक्शन, डिमेट्रिक प्रोजेक्शन और ट्राइमेट्रिक प्रोजेक्शन को मल्टीव्यू प्रोजेक्शन में सहायक दृश्य माना जाएगा। मल्टीव्यू प्रोजेक्शन की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि अंतरिक्ष की एक धुरी को आमतौर पर ऊर्ध्वाधर के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

नक्शानवीसी

Main article: Orthographic projection in cartography

पूर्वी गोलार्ध 30°W-150°E का ऑर्थोग्राफ़िक प्रक्षेपण (विषुवतीय पहलू)।

एक ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन मैप नक्शानवीसी का एक नक्शा प्रक्षेपण है। त्रिविम प्रक्षेपण और ग्नोमोनिक प्रक्षेपण की तरह, ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण है। परिप्रेक्ष्य (या अज़ीमुथल) प्रोजेक्शन, जिसमें गोले को एक स्पर्शरेखा विमान या सेकेंडरी प्लेन पर प्रक्षेपित किया जाता है। ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन के लिए परिप्रेक्ष्य बिंदु अनंत दूरी पर है। यह ग्लोब के एक क्षेत्र को दर्शाता है क्योंकि यह बाह्य अंतरिक्ष से प्रकट होता है, जहां क्षितिज एक बड़ा चक्र है। आकार और क्षेत्र विरूपण#नक्शा अनुमान हैं, विशेष रूप से किनारों के पास।

ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन पुरातनता के बाद से जाना जाता है, इसके कार्टोग्राफिक उपयोगों को अच्छी तरह से प्रलेखित किया गया है। हिप्पार्कस ने दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में स्टार-राइज़ और स्टार-सेट के स्थानों को निर्धारित करने के लिए प्रक्षेपण का उपयोग किया। लगभग 14 ई.पू. में, रोमन इंजीनियर विट्रूवियस ने प्रक्षेपण का उपयोग धूपघड़ी बनाने और सूर्य की स्थिति की गणना करने के लिए किया।

ऐसा लगता है कि विटरुवियस ने प्रक्षेपण के लिए ऑर्थोग्राफ़िक शब्द (ग्रीक ऑर्थोस (= "स्ट्रेट") और ग्राफे (= "ड्राइंग") से तैयार किया है। आम नाम जब तक एंटवर्प के फ्रांकोइस डी'एगुइलन ने 1613 में अपने वर्तमान नाम को बढ़ावा नहीं दिया।

प्रक्षेपण पर सबसे पुराने जीवित नक्शे 1509 (गुमनाम), 1533 और 1551 (जोहान्स शॉनेर), और 1524 और 1551 (एपियन) के स्थलीय ग्लोब के वुडकट ड्राइंग के रूप में दिखाई देते हैं।

बाहरी संबंध

• Normale (orthogonale) Axonometrie (in German)
• Orthographic Projection Video and mathematics