वॉल्यूम फॉर्म

गणित में, वॉल्यूम फॉर्म या टॉप-डायमेंशनल फॉर्म अलग करने योग्य कई गुना डायमेंशन के बराबर डिग्री का विभेदक रूप है। इस प्रकार कई गुना $M$ आयाम का $n$, वॉल्यूम फॉर्म है $n$-प्रपत्र। यह लाइन बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) के स्थान का तत्व है $\textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)$, इस रूप में घोषित किया गया $\Omega ^{n}(M)$. कई गुना कहीं-गायब मात्रा के रूप में स्वीकार करता है अगर और केवल अगर यह उन्मुख है। कुंडा कई गुना में असीम रूप से कई वॉल्यूम फॉर्म होते हैं, क्योंकि वॉल्यूम फॉर्म को फ़ंक्शन द्वारा गुणा करने से और वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होता है। गैर-उन्मुख कई गुना पर, इसके बजाय कई गुना पर घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।

एक वॉल्यूम फॉर्म अलग-अलग कई गुना पर फ़ंक्शन (गणित) के अभिन्न अंग को परिभाषित करने का माध्यम प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, आयतन रूप माप (गणित) को जन्म देता है जिसके संबंध में कार्यों को उपयुक्त लेबेस्ग इंटीग्रल द्वारा एकीकृत किया जा सकता है। वॉल्यूम फॉर्म का पूर्ण मूल्य वॉल्यूम तत्व है, जिसे विभिन्न रूप से मुड़ वॉल्यूम फॉर्म या छद्म-वॉल्यूम फॉर्म के रूप में भी जाना जाता है। यह माप को भी परिभाषित करता है, लेकिन किसी भी अलग-अलग कई गुना, उन्मुख या नहीं पर मौजूद है।

काहलर मैनिफोल्ड्स, जटिल मैनिफोल्ड्स होने के कारण, स्वाभाविक रूप से उन्मुख होते हैं, और इसलिए उनके पास वॉल्यूम फॉर्म होता है। अधिक आम तौर पर, $n$साहचर्य रूप की बाहय शक्ति पर साहचर्य बहुरूपी मात्रा रूप है। मैनिफोल्ड के कई वर्गों में कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म होते हैं: उनके पास अतिरिक्त संरचना होती है जो पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म की पसंद की अनुमति देती है। ओरिएंटेड स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स में संबंधित कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म है।

अभिविन्यास

निम्नलिखित केवल अलग-अलग मैनिफोल्ड की उन्मुखता के बारे में होगा (यह किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर परिभाषित अधिक सामान्य धारणा है)।

एक मैनिफोल्ड एडजस्टेबल है यदि इसमें समन्वय एटलस है जिसके सभी संक्रमण कार्यों में सकारात्मक जैकोबियन निर्धारक हैं। अधिकतम ऐसे एटलस का चयन अभिविन्यास है $M.$ मात्रा रूप $\omega$ पर $M$ समन्वय चार्ट के एटलस के रूप में स्वाभाविक रूप से अभिविन्यास को जन्म देता है $M$ कि भेजो $\omega$ यूक्लिडियन वॉल्यूम फॉर्म के सकारात्मक गुणक के लिए $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$ एक वॉल्यूम फॉर्म चलती फ्रेम के पसंदीदा वर्ग के विनिर्देश के लिए भी अनुमति देता है $M.$ स्पर्शरेखा सदिशों के आधार को बुलाओ $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ दाहिना हाथ अगर

$$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.$$

सभी दाएं हाथ के फ़्रेमों का संग्रह समूह क्रिया (गणित) द्वारा समूह (गणित) है $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ में सामान्य रेखीय समूह मैपिंग की $n$ सकारात्मक निर्धारक के साथ आयाम। वे प्रिंसिपल बंडल | प्रिंसिपल बनाते हैं $\mathrm {GL} ^{+}(n)$ के रैखिक फ्रेम बंडल का उप-बंडल $M,$ और इसलिए वॉल्यूम फॉर्म से जुड़ा ओरिएंटेशन फ्रेम बंडल के कैनोनिकल रिडक्शन देता है $M$ संरचना समूह के साथ उप-बंडल के लिए $\mathrm {GL} ^{+}(n).$ कहने का तात्पर्य यह है कि आयतन रूप जी-संरचना को जन्म देता है$\mathrm {GL} ^{+}(n)$-संरचना चालू $M.$ जिन फ़्रेमों पर विचार किया गया है, उन पर विचार करके अधिक कमी स्पष्ट रूप से संभव है

$\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=1.$

(1)

इस प्रकार आयतन रूप को जन्म देता है $\mathrm {SL} (n)$-संरचना भी। इसके विपरीत, दिया $\mathrm {SL} (n)$-संरचना, कोई थोप कर आयतन रूप को पुनः प्राप्त कर सकता है (1) विशेष रैखिक फ्रेम के लिए और फिर आवश्यक के लिए हल करना $n$-प्रपत्र $\omega$ अपने तर्कों में एकरूपता की आवश्यकता के द्वारा।

एक मैनिफोल्ड ओरिएंटेबल है अगर और केवल अगर इसमें कहीं नहीं गायब होने वाला वॉल्यूम फॉर्म है। वास्तव में, $\mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)$ के बाद से विरूपण वापसी है $\mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},$ जहां धनात्मक वास्तविकताओं को अदिश आव्यूहों के रूप में सन्निहित किया जाता है। इस प्रकार हर $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-संरचना के लिए कम हो जाती है $\mathrm {SL} (n)$-संरचना, और $\mathrm {GL} ^{+}(n)$-संरचनाएं अभिविन्यास के साथ मेल खाती हैं $M.$ अधिक संक्षेप में, निर्धारक बंडल की तुच्छता $\Omega ^{n}(M)$