घूर्णन पृष्ठ

वक्र का एक भाग x = 2 + cos(z) के चारों ओर घुमाया गया z-एक्सिस

वर्ग के रूप में एक टोरस्र्स वर्ग के विकर्ण के साथ एक अक्ष के चारों ओर घूमता है।

क्रांति की एक सतह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक सतह (गणित) है जो रोटेशन की धुरी के चारों ओर एक वक्र (Generatrix) को घुमाकर बनाई गई है।

एक सीधी रेखा द्वारा उत्पन्न क्रांति की सतहों के उदाहरण बेलन (ज्यामिति) और शंक्वाकार सतहें हैं जो इस बात पर निर्भर करती हैं कि रेखा अक्ष के समानांतर है या नहीं। एक वृत्त जो किसी भी व्यास के चारों ओर घूमता है, एक गोला उत्पन्न करता है, जो तब एक बड़ा वृत्त होता है, और यदि वृत्त को एक अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है जो किसी वृत्त के आंतरिक भाग को नहीं काटता है, तो यह एक टोरस उत्पन्न करता है जो स्वयं को प्रतिच्छेद नहीं करता है ( एक रिंग टोरस)।

गुण

अक्ष के माध्यम से विमानों द्वारा बनाई गई क्रांति की सतह के खंड भूमध्य रेखा खंड कहलाते हैं। किसी भी मध्याह्न खंड को इसके और अक्ष द्वारा निर्धारित विमान में जेनरेट्रिक्स माना जा सकता है। विमानों द्वारा बनाई गई क्रांति की सतह के खंड जो अक्ष के लंबवत हैं, वृत्त हैं।

हाइपरबोलाइड्स के कुछ विशेष मामले (या तो एक या दो शीट्स के) और अण्डाकार पैराबोलॉइड्स क्रांति की सतह हैं। इन्हें उन द्विघात सतहों के रूप में पहचाना जा सकता है जिनके सभी क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) अक्ष के लंबवत हैं।

क्षेत्र सूत्र

यदि वक्र पैरामीट्रिक वक्र कार्यों द्वारा वर्णित है x(t), y(t), साथ t कुछ अंतराल से लेकर [a,b], और क्रांति की धुरी है y-अक्ष, फिर क्षेत्र A_y अभिन्न द्वारा दिया जाता है

$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,$

उसे उपलब्ध कराया x(t) एंडपॉइंट्स के बीच कभी भी नकारात्मक नहीं होता है a और b. यह सूत्र पप्पस के केन्द्रक प्रमेय के समतुल्य है। मात्रा

${\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}$

पाइथागोरस प्रमेय से आता है और वक्र के चाप के एक छोटे खंड का प्रतिनिधित्व करता है, जैसा कि चाप लंबाई सूत्र में है। मात्रा 2πx(t) इस छोटे खंड का पथ (केंद्रक) है, जैसा कि पप्पस प्रमेय द्वारा आवश्यक है।

इसी तरह, जब रोटेशन की धुरी है x-अक्ष और वह प्रदान किया y(t) कभी भी ऋणात्मक नहीं होता, क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है

$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.$

यदि फ़ंक्शन द्वारा निरंतर वक्र का वर्णन किया गया है y = f(x), a ≤ x ≤ b, तो अभिन्न बन जाता है

$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx$

चारों ओर क्रांति के लिए x-अक्ष, और

$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx$

वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के लिए (बशर्ते a ≥ 0). ये उपरोक्त सूत्र से आते हैं। उदाहरण के लिए, इकाई त्रिज्या वाला गोला वक्र द्वारा उत्पन्न होता है y(t) = sin(t), x(t) = cos(t), कब t के दायरे में है [0,π]. इसलिए इसका क्षेत्रफल है

${\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}$

त्रिज्या के साथ गोलाकार वक्र के मामले में r, y(x) = √r² − x² के बारे में घुमाया गया x-एक्सिस

$\begin{array}{rl}A& =2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->r}^r\sqrt{r^2-<!--\; -\; -->{}^{}}\end{array}$