गणित में, राकाह बहुपद ऑर्थोगोनल बहुपद के रूप में होते है, जिनका नाम गिउलिओ राकाह के नाम पर रखा गया है क्योंकि उनके ऑर्थोगोनलिटी संबंध राका गुणांकों के लिए उनके ऑर्थोगोनलिटी संबंधों के बराबर होता है।
राका बहुपदों को सबसे पहली बार विल्सन द्वारा 1978 में परिभाषित किया गया था और इसको इस प्रकार दिखाया गया है।
p n ( x ( x + γ + δ + 1 ) ) = 4 F 3 [ − n n + α + β + 1 − x x + γ + δ + 1 α + 1 γ + 1 β + δ + 1 ; 1 ] . {\displaystyle p_{n}(x(x+\gamma +\delta +1))={}_{4}F_{3}\left[{\begin{matrix}-n&n+\alpha +\beta +1&-x&x+\gamma +\delta +1\\\alpha +1&\gamma +1&\beta +\delta +1\\\end{matrix}};1\right].}
ऑर्थोगोनलिटी ∑ y = 0 N R n ( x ; α , β , γ , δ ) R m ( x ; α , β , γ , δ ) γ + δ + 1 + 2 y γ + δ + 1 + y ω y = h n δ n , m , {\displaystyle \sum _{y=0}^{N}\operatorname {R} _{n}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{m}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ){\frac {\gamma +\delta +1+2y}{\gamma +\delta +1+y}}\omega _{y}=h_{n}\operatorname {\delta } _{n,m},} [1] जब α + 1 = − N {\displaystyle \alpha +1=-N}
जहाँ R {\displaystyle \operatorname {R} }
x = y ( y + γ + δ + 1 ) , {\displaystyle x=y(y+\gamma +\delta +1),} δ n , m {\displaystyle \operatorname {\delta } _{n,m}} क्रोनकर डेल्टा फलन के रूप में होते है और वेट फलन के रूप में होते है,ω y = ( α + 1 ) y ( β + δ + 1 ) y ( γ + 1 ) y ( γ + δ + 2 ) y ( − α + γ + δ + 1 ) y ( − β + γ + 1 ) y ( δ + 1 ) y y ! , {\displaystyle \omega _{y}={\frac {(\alpha +1)_{y}(\beta +\delta +1)_{y}(\gamma +1)_{y}(\gamma +\delta +2)_{y}}{(-\alpha +\gamma +\delta +1)_{y}(-\beta +\gamma +1)_{y}(\delta +1)_{y}y!}},} और
h n = ( − β ) N ( γ + δ + 1 ) N ( − β + γ + 1 ) N ( δ + 1 ) N ( n + α + β + 1 ) n n ! ( α + β + 2 ) 2 n ( α + δ − γ + 1 ) n ( α − δ + 1 ) n ( β + 1 ) n ( α + 1 ) n ( β + δ + 1 ) n ( γ + 1 ) n , {\displaystyle h_{n}={\frac {(-\beta )_{N}(\gamma +\delta +1)_{N}}{(-\beta +\gamma +1)_{N}(\delta +1)_{N}}}{\frac {(n+\alpha +\beta +1)_{n}n!}{(\alpha +\beta +2)_{2n}}}{\frac {(\alpha +\delta -\gamma +1)_{n}(\alpha -\delta +1)_{n}(\beta +1)_{n}}{(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}},} ( ⋅ ) n {\displaystyle (\cdot )_{n}} पोचममेर सिंबल के रूप में होते है,रोड्रिग्स-टाइप फॉर्मूला ω ( x ; α , β , γ , δ ) R n ( λ ( x ) ; α , β , γ , δ ) = ( γ + δ + 1 ) n ∇ n ∇ λ ( x ) n ω ( x ; α + n , β + n , γ + n , δ ) , {\displaystyle \omega (x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(\gamma +\delta +1)_{n}{\frac {\nabla ^{n}}{\nabla \lambda (x)^{n}}}\omega (x;\alpha +n,\beta +n,\gamma +n,\delta ),} [2] जहाँ, ∇ {\displaystyle \nabla } पश्चगामी अंतर ऑपरेटर के रूप में होते है।
λ ( x ) = x ( x + γ + δ + 1 ) . {\displaystyle \lambda (x)=x(x+\gamma +\delta +1).}
फलनो का निर्माण x ∈ { 0 , 1 , 2 , . . . , N } {\displaystyle x\in \{0,1,2,...,N\}}
जब β + δ + 1 = − N {\displaystyle \beta +\delta +1=-N\quad } γ + 1 = − N , {\displaystyle \quad \gamma +1=-N,}
2 F 1 ( − x , − x + α − γ − δ ; α + 1 ; t ) 2 F 1 ( x + β + δ + 1 , x + γ + 1 ; β + 1 ; t ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x+\alpha -\gamma -\delta ;\alpha +1;t){}_{2}F_{1}(x+\beta +\delta +1,x+\gamma +1;\beta +1;t)} = ∑ n = 0 N ( β + δ + 1 ) n ( γ + 1 ) n ( β + 1 ) n n ! R n ( λ ( x ) ; α , β , γ , δ ) t n , {\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\beta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},} जब α + 1 = − N {\displaystyle \alpha +1=-N\quad } γ + 1 = − N , {\displaystyle \quad \gamma +1=-N,}
2 F 1 ( − x , − x + β − γ ; β + δ + 1 ; t ) 2 F 1 ( x + α + 1 , x + γ + 1 ; α − δ + 1 ; t ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x+\beta -\gamma ;\beta +\delta +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1,x+\gamma +1;\alpha -\delta +1;t)} = ∑ n = 0 N ( α + 1 ) n ( γ + 1 ) n ( α − δ + 1 ) n n ! R n ( λ ( x ) ; α , β , γ , δ ) t n , {\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\alpha -\delta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},} जब α + 1 = − N {\displaystyle \alpha +1=-N\quad } β + δ + 1 = − N , {\displaystyle \quad \beta +\delta +1=-N,}
2 F 1 ( − x , − x − δ ; γ + 1 ; t ) 2 F 1 ( x + α + 1 ; x + β + γ + 1 ; α + β − γ + 1 ; t ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x-\delta ;\gamma +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1;x+\beta +\gamma +1;\alpha +\beta -\gamma +1;t)} = ∑ n = 0 N ( α + 1 ) n ( β + δ + 1 ) n ( α + β − γ + 1 ) n n ! R n ( λ ( x ) ; α , β , γ , δ ) t n . {\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}}{(\alpha +\beta -\gamma +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n}.} विल्सन बहुपद के लिए कनेक्शन सूत्र जब, α = a + b − 1 , β = c + d − 1 , γ = a + d − 1 , δ = a − d , x → − a + i x , {\displaystyle \alpha =a+b-1,\beta =c+d-1,\gamma =a+d-1,\delta =a-d,x\rightarrow -a+ix,}
R n ( λ ( − a + i x ) ; a + b − 1 , c + d − 1 , a + d − 1 , a − d ) = W n ( x 2 ; a , b , c , d ) ( a + b ) n ( a + c ) n ( a + d ) n , {\displaystyle \operatorname {R} _{n}(\lambda (-a+ix);a+b-1,c+d-1,a+d-1,a-d)={\frac {\operatorname {W} _{n}(x^{2};a,b,c,d)}{(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}}},} जहाँ, W {\displaystyle \operatorname {W} } क्यू-एनालॉग आस्की एंड & विल्सन (1979) harvtxt error: no target: CITEREFआस्की_एंडविल्सन1979 (help ) ने मौलिक हाइपरज्यामितीय फलनो के संदर्भ में परिभाषित क्यू राकाह बहुपदों की शुरुआत की थी
p n ( q − x + q x + 1 c d ; a , b , c , d ; q ) = 4 ϕ 3 [ q − n a b q n + 1 q − x q x + 1 c d a q b d q c q ; q ; q ] . {\displaystyle p_{n}(q^{-x}+q^{x+1}cd;a,b,c,d;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&q^{x+1}cd\\aq&bdq&cq\\\end{matrix}};q;q\right].} उन्हें कभी-कभी चर के परिवर्तन के साथ बदल दिया जाता था
W n ( x ; a , b , c , N ; q ) = 4 ϕ 3 [ q − n a b q n + 1 q − x c q x − n a q b c q q − N ; q ; q ] . {\displaystyle W_{n}(x;a,b,c,N;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&cq^{x-n}\\aq&bcq&q^{-N}\\\end{matrix}};q;q\right].}
संदर्भ
↑ Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Wilson Class: Definitions" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 ↑ Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (1998), The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue
Askey, Richard; Wilson, James (1979), "A set of orthogonal polynomials that generalize the Racah coefficients or 6-j symbols" (PDF) , SIAM Journal on Mathematical Analysis , 10 (5): 1008–1016, doi :10.1137/0510092 , ISSN 0036-1410 , MR 0541097 , archived from the original on September 25, 2017 Wilson, J. (1978), Hypergeometric series recurrence relations and some new orthogonal functions , Ph.D. thesis, Univ. Wisconsin, Madison
