घनत्व आव्यूह

क्वांटम यांत्रिकी में, घनत्व आव्यूह या घनत्व संचालक (ऑपरेटर) एक आव्यूह है जो भौतिक प्रणाली की क्वांटम स्थिति का वर्णन करता है। यह बोर्न नियम का उपयोग करके इस प्रणाली पर किए गए किसी भी माप के परिणामों की संभावनाओं की गणना करने की स्वीकृति देता है। यह अधिक सामान्य स्थैतिक सदिश या तरंग फलन का सामान्यीकरण है जबकि वे केवल शुद्ध स्थितियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं घनत्व आव्यूह भी समिश्र स्थितियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। दो अलग-अलग स्थितियों में क्वांटम यांत्रिकी के हल उत्पन्न होते हैं पहला जब प्रणाली की तैयारी पूरी तरह से ज्ञात नहीं है और इस प्रकार किसी को संभावित तैयारियों के एक सांख्यिकीय समूह से निपटना चाहिए, और दूसरा जब कोई एक भौतिक प्रणाली का वर्णन करना चाहता है जो उनकी संयुक्त स्थिति का वर्णन किए बिना दूसरे से जटिल होता है।

घनत्व आव्यूह इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण आव्यूह हैं जिसमे क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी, विवृत क्वांटम प्रणाली, क्वांटम असंगति और क्वांटम प्रौद्योगिकी जैसी समिश्र स्थितिया सम्मिलित हैं।

परिभाषा और प्रेरणा

घनत्व आव्यूह एक रैखिक संचालक का प्रतिनिधित्व है जिसे "घनत्व संचालक" कहा जाता है। घनत्व आव्यूह अंतर्निहित समष्टि में आधार (रैखिक बीजगणित) की स्थिति से घनत्व संचालक प्राप्त किया जाता है। सामान्यतः शब्द घनत्व आव्यूह और घनत्व संचालक प्रायः एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं।

संचालक भाषा में, एक प्रणाली के लिए एक घनत्व संचालक एक धनात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन संचालक है जो प्रणाली के हिल्बर्ट समष्टि पर अभिनय करता है। इस परिभाषा को एक ऐसी स्थिति पर विचार करके प्रेरित किया जा सकता है जहाँ एक शुद्ध स्थिति $|\psi _{j}\rangle$ होती है और प्रायिकता के साथ तैयार किया जाता है जिसको $p_{j}$ के रूप में जाना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी प्रक्षेपी माप परिणाम में मापन प्राप्त करने की प्रायिकता $m$ प्रक्षेपण संचालकों का उपयोग करते समय $\Pi _{m}$ द्वारा दिया गया है:

$p(m)=\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}\mid \Pi _{m}\mid \psi _{j}\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|\right)\right],$

जो घनत्व संचालक बनाता है, जिसे परिभाषित किया गया है:

$\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,$

इस प्रायिकता की स्थिति के लिए एक सुविधाजनक प्रतिनिधित्व के लिए यह जांचना आसान है कि यह संचालक धनात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन है और इसका एक संकेत है। इसके विपरीत, यह स्पेक्ट्रम प्रमेय से अनुसरण करता है कि इन गुणों वाले प्रत्येक संकारक को इस रूप $\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}$