विभाज्य समूह

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत के क्षेत्र में, विभाज्य समूह एबेलियन समूह होता है जिसमें प्रत्येक तत्व, किसी अर्थ में, धनात्मक पूर्णांकों द्वारा विभाजित किया जा सकता है, या अधिक सही रूप से, प्रत्येक तत्व प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए nवां गुणक होता है। विशेषकर, एबेलियन समूहों की संरचना को समझने में विभाज्य समूह महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे इंजेक्टिव एबेलियन समूह हैं।

परिभाषा

एबेलियन समूह $(G,+)$ विभाज्य है यदि, हर धनात्मक $n$ और हर $g\in G$ पूर्णांक के लिए, वहां उपस्थित $y\in G$ ऐसा है कि $ny=g$। समतुल्य स्थिति है: किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, $nG=G$क्योंकि प्रत्येक $n$ और $g$ के लिए $y$ का अस्तित्व दर्शाता है कि $nG\supseteq G$, और दूसरी दिशा $nG\subseteq G$ प्रत्येक समूह के लिए सत्य है। तीसरी समतुल्य स्थिति यह है कि एबेलियन समूह $G$ विभाज्य है यदि और केवल यदि $G$ एबेलियन समूहों की श्रेणी में इंजेक्टिव वस्तु है; इस कारण से, विभाज्य समूह को कभी-कभी इंजेक्टिव समूह कहा जाता है।

एबेलियन समूह अभाज्य $p$ के लिए $p$-विभाज्य है, यदि प्रत्येक $g\in G$ के लिए $y\in G$, उपस्थित है जैसे कि $py=g$। समतुल्य रूप से, यदि और केवल यदि $pG=G$ के लिए एबेलियन समूह $p$-विभाज्य है।

उदाहरण

• परिमेय संख्याएँ $\mathbb {Q}$ योग के अनुसार विभाज्य समूह बनाएं।
• अधिक सामान्यतः, किसी भी सदिश स्थान का अंतर्निहित योगात्मक समूह $\mathbb {Q}$ विभाज्य है।
• विभाज्य समूह का प्रत्येक भागफल समूह विभाज्य है। इस प्रकार, $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ विभाज्य है।
• $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ का p-प्राथमिक घटक $\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z}$, जो p-अर्धचक्रीय समूह $\mathbb {Z} [p^{\infty }]$ के लिए समरूप और विभाज्य है।
• सम्मिश्र संख्याओं का गुणक समूह $\mathbb {C} ^{*}$ विभाज्य है।
• प्रत्येक अस्तित्वगत रूप से बंद एबेलियन समूह (मॉडल सिद्धांत के अर्थ में) विभाज्य है।

गुण

• यदि विभाज्य समूह एबेलियन समूह का उपसमूह है तो यह उस एबेलियन समूह का प्रत्यक्ष योग है।
• प्रत्येक एबेलियन समूह को विभाज्य समूह में एम्बेडिंग किया जा सकता है।
• गैर-तुच्छ विभाज्य समूह अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह नहीं हैं।
• इसके अतिरिक्त, प्रत्येक एबेलियन समूह को विभाज्य समूह में अद्वितीय उपसमूह के रूप में अद्वितीय विधि से एम्बेड किया जा सकता है।
• एबेलियन समूह विभाज्य है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक अभाज्य p के लिए p-विभाज्य है।
• मान लीजिए $A$ रिंग है। यदि $T$ विभाज्य समूह है, तो $\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)$ और $A$-मॉड्यूल की श्रेणी में इंजेक्टिव है। है।

विभाज्य समूहों की संरचना प्रमेय

माना G विभाज्य समूह है। तब G का मरोड़ उपसमूह Tor(G) विभाज्य है। चूंकि विभाज्य समूह इंजेक्शन मॉड्यूल है, Tor(G) G का सीधा योग है, इसलिए

$G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).$

विभाज्य समूह के भागफल के रूप में, G/Tor(G) विभाज्य है। इसके अतिरिक्त, यह मरोड़-मुक्त है। इस प्रकार, यह 'Q' पर सदिश समष्टि है और इसलिए वहाँ समुच्चय I का का अस्तित्व है, जो ऐसा है

$G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.$

मरोड़ उपसमूह की संरचना निर्धारित करना कठिन है, लेकिन कोई दिखा सकता है कि सभी अभाज्य संख्याओं के लिए p उपस्थित है, $I_{p}$ ऐसा है कि

$(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},$

जहाँ $(\mathrm {Tor} (G))_{p}$ टोर (G) का P-प्राथमिक घटक है।

इस प्रकार, यदि 'P' अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,

$G=($