विभाज्य समूह

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत के क्षेत्र में, विभाज्य समूह एबेलियन समूह होता है जिसमें प्रत्येक तत्व, किसी अर्थ में, सकारात्मक पूर्णांकों द्वारा विभाजित किया जा सकता है, या अधिक सही रूप से, प्रत्येक तत्व n गुणक होता है प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n. एबेलियन समूहों की संरचना को समझने में विभाज्य समूह महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से क्योंकि वे इंजेक्शन मॉड्यूल एबेलियन समूह हैं। या अधिक सही रूप से, प्रत्येक तत्व एक n गुणक होता है प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n. एबेलियन समूहों की संरचना को समझने में विभाज्य समूह महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से क्योंकि वे इंजेक्शन मॉड्यूल एबेलियन समूह हैं

परिभाषा

एबेलियन समूह $(G,+)$ विभाज्य है अगर, हर सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$ और हर $g\in G$, वहां उपस्थित $y\in G$ ऐसा है कि $ny=g$. समतुल्य स्थिति है किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$, $nG=G$, के अस्तित्व के बाद से $y$ हर एक के लिए $n$ और $g$ इसका आशय है $nG\supseteq G$, और दूसरी दिशा $nG\subseteq G$ प्रत्येक समूह के लिए सत्य है। तीसरी समान स्थिति यह है कि एबेलियन समूह $G$ विभाज्य है अगर और केवल अगर $G$ एबेलियन समूहों की श्रेणी में इंजेक्शन वस्तु है; इस कारण से, विभाज्य समूह को कभी-कभी अंतःक्षेपी समूह कहा जाता है।

एबेलियन समूह है $p$- अभाज्य संख्या के लिए विभाज्य $p$ यदि प्रत्येक के लिए $g\in G$, वहां उपस्थित $y\in G$ ऐसा है कि $py=g$. समतुल्य रूप से, एबेलियन समूह है $p$-विभाज्य अगर और केवल अगर $pG=G$.

उदाहरण

• परिमेय संख्याएँ $\mathbb {Q}$ योग के तहत विभाज्य समूह बनाएं।
• अधिक सामान्यतः, किसी भी सदिश स्थान का अंतर्निहित योगात्मक समूह $\mathbb {Q}$ विभाज्य है।
• विभाज्य समूह का प्रत्येक भागफल समूह विभाज्य है। इस प्रकार, $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ विभाज्य है।
• पी-प्राथमिक घटक $\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z}$ का $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$, जो पी-क्वैसीसाइक्लिक समूह के लिए समूह समरूपता है $\mathbb {Z} [p^{\infty }]$, विभाज्य है।
• सम्मिश्र संख्याओं का गुणक समूह $\mathbb {C} ^{*}$ विभाज्य है।
• प्रत्येक अस्तित्वगत रूप से बंद एबेलियन समूह (मॉडल सिद्धांत के अर्थ में) विभाज्य है।

गुण

• यदि विभाज्य समूह एबेलियन समूह का उपसमूह है तो यह उस एबेलियन समूह का प्रत्यक्ष योग है।
• प्रत्येक एबेलियन समूह को विभाज्य समूह में एम्बेडिंग किया जा सकता है।
• गैर-तुच्छ विभाज्य समूह अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह नहीं हैं।
• इसके अतिरिक्त, प्रत्येक एबेलियन समूह को विभाज्य समूह में अद्वितीय उपसमूह के रूप में अद्वितीय तरीके से एम्बेड किया जा सकता है।
• एबेलियन समूह विभाज्य है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक अभाज्य p के लिए p-विभाज्य है।
• होने देना $A$ अँगूठी बनो (गणित) अगर $T$ विभाज्य समूह है, तो $\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)$ की श्रेणी (गणित) में इंजेक्शन है $A$-मॉड्यूल (गणित)।

विभाज्य समूहों की संरचना प्रमेय

माना G विभाज्य समूह है। तब G का मरोड़ उपसमूह Tor(G) विभाज्य है। चूंकि विभाज्य समूह इंजेक्शन मॉड्यूल है, Tor(G) G. का सीधा योग है

$G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).$

विभाज्य समूह के भागफल के रूप में, G/Tor(G) विभाज्य है। इसके अलावा, यह मरोड़ (बीजगणित) | मरोड़-मुक्त है। इस प्रकार, यह 'Q' पर सदिश समष्टि है और इसलिए वहाँ समुच्चय का का अस्तित्व है

$G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.$

मरोड़ उपसमूह की संरचना निर्धारित करना कठिन है, लेकिन कोई दिखा सकता है कि सभी अभाज्य संख्याओं p का अस्तित्व है $I_{p}$ ऐसा है कि

$(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},$

कहाँ $(\mathrm {Tor} (G))_{p}$ टोर (जी) का पी-प्राथमिक घटक है।

इस प्रकार, यदि 'P' अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,

$G=(\underset{p\in <!--\; \in \; -->\mathbf{P}}{⨁<!--\; ⨁\; -->}\mathbb{Z}{[p^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}]}^{(I_{}}$