बानाच समष्टि

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, बानाख समष्टि (उच्चारण [ˈbanax]) एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, एक बानाख समष्टि एक मीट्रिक (गणित) के साथ एक सदिश समष्टि है जो नॉर्म (गणित) की गणना और वैक्टर के बीच की दूरी की स्वीकृति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि वैक्टर का एक कॉची अनुक्रम हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है अनुक्रम जो समष्टि के भीतर है।

बानाख समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ स्टीफन बानाच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को पेश किया और 1920-1922 में हंस हैन (गणितज्ञ) और एडुआर्ड हेली के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया। मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बानाख समष्टि का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बानाख ने फ्रेचेट समष्टि शब्द गढ़ा। बानाख समष्टि मूल रूप से डेविड हिल्बर्ट, मौरिस रेने फ्रेचेट | फ्रेचेट, और फ्रिगियस रिज्ज़ द्वारा शताब्दी में पहले कार्य समष्टि के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बानाख समष्टि एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के तहत रिक्त समष्टि प्रायः बानाख समष्टि होते हैं।

परिभाषा

एक बानाख समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि नॉर्म्ड समष्टि है $(X,\|\cdot \|).$ एक आदर्श समष्टि एक जोड़ी है $(X,\|\cdot \|)$ एक सदिश स्थल से मिलकर $X$ एक अदिश क्षेत्र पर $\mathbb {K}$ (कहाँ $\mathbb {K}$ सामान्यतः है $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$) एक प्रतिष्ठित के साथ सामान्य (गणित) $\|\cdot \|:X\to \mathbb {R} .$ सभी मानदंडों की तरह, यह मानदंड अनुवाद अपरिवर्तनीय को प्रेरित करता है मीट्रिक (गणित), जिसे कैनोनिकल या नॉर्म प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है|(मानदंड) प्रेरित मीट्रिक, द्वारा परिभाषित

$$d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|$$

सभी वैक्टर के लिए $x,y\in X.$ यह बनाता है $X$ एक मीट्रिक समष्टि में $(X,d).$ एक क्रम $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ कहा जाता है $d$-Cauchy या Cauchy in $(X,d)$ या $\|\cdot \|$-Cauchy यदि हर असली के लिए $r>0,$ कुछ सूचकांक सम्मिलित है $N$ ऐसा है कि

$$d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r$$

जब कभी भी $m$ और $n$ से अधिक हैं $N.$ विहित मीट्रिक $d$ ए कहा जाता हैcomplete metric यदि जोड़ी $(X,d)$ एक है complete metric space, जो परिभाषा के अनुसार हर के लिए है $d$-Cauchy sequence $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ में $(X,d),$ कुछ सम्मिलित है $x\in X$ ऐसा है कि

$$\lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0$$

कहाँ क्योंकि $\left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),$ इस क्रम का अभिसरण $x$ समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d).$$

परिभाषा के अनुसार, आदर्श समष्टि $(X,\|\cdot \|)$ एक हैBanach space यदि मानक प्रेरित मीट्रिक $d$ एक पूर्ण मीट्रिक है, या अलग तरह से कहा जाए, यदि $(X,d)$ एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। नियम $\|\cdot \|$ एक आदर्श समष्टि का $(X,\|\cdot \|)$ ए कहा जाता है