बानाच समष्टि

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक बैनाच स्पेस (उच्चारण [ˈbanax]) एक पूर्ण मीट्रिक स्थान मानक सदिश स्थान है। इस प्रकार, एक बैनाच स्पेस एक मीट्रिक (गणित) के साथ एक सदिश स्थान है जो नॉर्म (गणित) की गणना और वैक्टर के बीच की दूरी की अनुमति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि वैक्टर का एक कॉची अनुक्रम हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है अनुक्रम जो अंतरिक्ष के भीतर है।

बानाच रिक्त स्थान का नाम पोलिश गणितज्ञ स्टीफन बानाच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को पेश किया और 1920-1922 में हंस हैन (गणितज्ञ) और एडुआर्ड हेली के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया। मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बनच स्पेस का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बनच ने फ्रेचेट स्पेस शब्द गढ़ा। बानाच रिक्त स्थान मूल रूप से डेविड हिल्बर्ट, मौरिस रेने फ्रेचेट | फ्रेचेट, और फ्रिगियस रिज्ज़ द्वारा शताब्दी में पहले कार्य स्थान के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बनच स्थान एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के तहत रिक्त स्थान अक्सर बनच स्थान होते हैं।

परिभाषा

एक बनच स्पेस एक पूर्ण मीट्रिक स्पेस नॉर्म्ड स्पेस है $(X,\|\cdot \|).$ एक आदर्श स्थान एक जोड़ी है $(X,\|\cdot \|)$ एक सदिश स्थल से मिलकर $X$ एक अदिश क्षेत्र पर $\mathbb {K}$ (कहाँ $\mathbb {K}$ सामान्यतः है $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$) एक प्रतिष्ठित के साथ सामान्य (गणित) $\|\cdot \|:X\to \mathbb {R} .$ सभी मानदंडों की तरह, यह मानदंड अनुवाद अपरिवर्तनीय को प्रेरित करता है मीट्रिक (गणित), जिसे कैनोनिकल या नॉर्म प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है|(मानदंड) प्रेरित मीट्रिक, द्वारा परिभाषित

$$d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|$$

सभी वैक्टर के लिए $x,y\in X.$ यह बनाता है $X$ एक मीट्रिक अंतरिक्ष में $(X,d).$ एक क्रम $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ कहा जाता है $d$-Cauchy या Cauchy in $(X,d)$ या $\|\cdot \|$-Cauchy अगर हर असली के लिए $r>0,$ कुछ सूचकांक मौजूद है $N$ ऐसा है कि

$$d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r$$

जब कभी भी $m$ और $n$ से अधिक हैं $N.$ विहित मीट्रिक $d$ ए कहा जाता हैcomplete metric अगर जोड़ी $(X,d)$ एक है complete metric space, जो परिभाषा के अनुसार हर के लिए है $d$-Cauchy sequence $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ में $(X,d),$ कुछ मौजूद है $x\in X$ ऐसा है कि

$$\lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0$$

कहाँ क्योंकि $\left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),$ इस क्रम का अभिसरण $x$ समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d).$$

परिभाषा के अनुसार, आदर्श स्थान $(X,\|\cdot \|)$ एक हैBanach space यदि मानक प्रेरित मीट्रिक $d$ एक पूर्ण मीट्रिक है, या अलग तरह से कहा जाए, यदि $(X,d)$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है। नियम $\|\cdot \|$ एक आदर्श स्थान का $(X,\|\cdot \|)$ ए कहा जाता है